Integrale Doppio: estremi nel cambiamento di variabili
Salve a tutti amici del forum, oggi volevo chiedervi aiuto su un esercizio che ho svolto preparandomi per l'esame di AM2. (L'esercizio in questione è proprio una traccia dell'ultimo esame della mia prof).
Veniamo al sodo: la traccia recita così:
Calcolare il seguente integrale doppio:
$ int int_(D) x/sqrt(x^2+y^2) dx dy $ in $ D:{(x,y)in R^2 | 1<=x^2+y^2<=4, x/2<=y<=2x} $
Dopo aver disegnato il grafico mi sono subito reso conto di quanto avessi a che fare con una brutta bestia (
)...
Senza demordere, ho cercato un modo per procedere, e ho trovato questo. La domanda sta proprio nel sapere se il metodo scelto è giusto o meno, e se (nel caso in cui fosse sbagliato) ce n'è uno più 'semplice'.
Ragioniamo:
Mi trovo davanti all'intersezione tra due circonferenze e due rette. Dunque scelgo di calcolare prima la parametrizzazione dell' intersezione tra le due rette e la circonferenza di raggio maggiore(4), calcolarne l'integrale, e poi sottrarlo all'integrale della circonferenza minore (quella di raggio 1).
Note dolenti: come faccio a passare in coordinate polari senza conoscere gli estremi di $ vartheta $ ???
Al che penso: conosco le equazioni delle rette e un punto: (0,0). Dunque calcolo $ theta $ in funzione di un $rho $ a sua volta funzione di (x,y).
Calcolo il $ theta $ che corrisponde all'estremo inferiore, ovvero alla retta $y=2x$.
$ x=1 => y=2 => rho = sqrt(5) $
$ sentheta=2/sqrt(5) => theta=arcsen(2sqrt(5)/5) $
Ripeto il procedimento per l'estremo superiore( stavolta però è $y=x/2$):
$ x=2 => y=1 => rho = sqrt(5) $
$ sentheta=1/sqrt(5) => theta=arcsen(sqrt(5)/5) $
Dunque mi calcolo l'integrale su questa sezione di circonferenza.
$ int int_(D1) x/sqrt(x^+y^2)dx dy = int int_(D'1) costhetarho drho d theta=
int_(0)^(4) rho drho int_(arcsen(sqrt(5)/5))^(arcsen(2sqrt(5)/5))costheta d theta $
$ int_0^4rhodrho[ sentheta ]_arcsin(sqrt(5)/5)^(arcsin(2sqrt(5)/5))=sqrt(5)/5[rho^2/2]_0^4 = 8sqrt(5)/5 $
Occhei. adesso sottraggo l'integrale sulla circonferenza "minore":
$ 8sqrt(5)/5-int_0^1rhodrho[ sentheta ]_0^(pi/2)=8sqrt(5)/5-[rho^2/2]_0^1 = (8sqrt(5)-5)/10 $
Tocco finale: essendo la funzione simmetrica rispetto a (0,0) moltiplico il tutto per 2:
Risultato= $ 8sqrt(5)/5-1 $
Ora, innanzitutto grazie per essere arrivati fino in fondo
Mi piacerebbe ascoltare un vostro 'feedback' sullo svolgimento dell'esercizio: ci sono errori? Il procedimento è 'legittimo'? Ma soprattutto: mi vale la promozione???
Veniamo al sodo: la traccia recita così:
Calcolare il seguente integrale doppio:
$ int int_(D) x/sqrt(x^2+y^2) dx dy $ in $ D:{(x,y)in R^2 | 1<=x^2+y^2<=4, x/2<=y<=2x} $
Dopo aver disegnato il grafico mi sono subito reso conto di quanto avessi a che fare con una brutta bestia (
)...Senza demordere, ho cercato un modo per procedere, e ho trovato questo. La domanda sta proprio nel sapere se il metodo scelto è giusto o meno, e se (nel caso in cui fosse sbagliato) ce n'è uno più 'semplice'.
Ragioniamo:
Mi trovo davanti all'intersezione tra due circonferenze e due rette. Dunque scelgo di calcolare prima la parametrizzazione dell' intersezione tra le due rette e la circonferenza di raggio maggiore(4), calcolarne l'integrale, e poi sottrarlo all'integrale della circonferenza minore (quella di raggio 1).
Note dolenti: come faccio a passare in coordinate polari senza conoscere gli estremi di $ vartheta $ ???
Al che penso: conosco le equazioni delle rette e un punto: (0,0). Dunque calcolo $ theta $ in funzione di un $rho $ a sua volta funzione di (x,y).
Calcolo il $ theta $ che corrisponde all'estremo inferiore, ovvero alla retta $y=2x$.
$ x=1 => y=2 => rho = sqrt(5) $
$ sentheta=2/sqrt(5) => theta=arcsen(2sqrt(5)/5) $
Ripeto il procedimento per l'estremo superiore( stavolta però è $y=x/2$):
$ x=2 => y=1 => rho = sqrt(5) $
$ sentheta=1/sqrt(5) => theta=arcsen(sqrt(5)/5) $
Dunque mi calcolo l'integrale su questa sezione di circonferenza.
$ int int_(D1) x/sqrt(x^+y^2)dx dy = int int_(D'1) costhetarho drho d theta=
int_(0)^(4) rho drho int_(arcsen(sqrt(5)/5))^(arcsen(2sqrt(5)/5))costheta d theta $
$ int_0^4rhodrho[ sentheta ]_arcsin(sqrt(5)/5)^(arcsin(2sqrt(5)/5))=sqrt(5)/5[rho^2/2]_0^4 = 8sqrt(5)/5 $
Occhei. adesso sottraggo l'integrale sulla circonferenza "minore":
$ 8sqrt(5)/5-int_0^1rhodrho[ sentheta ]_0^(pi/2)=8sqrt(5)/5-[rho^2/2]_0^1 = (8sqrt(5)-5)/10 $
Tocco finale: essendo la funzione simmetrica rispetto a (0,0) moltiplico il tutto per 2:
Risultato= $ 8sqrt(5)/5-1 $
Ora, innanzitutto grazie per essere arrivati fino in fondo
Mi piacerebbe ascoltare un vostro 'feedback' sullo svolgimento dell'esercizio: ci sono errori? Il procedimento è 'legittimo'? Ma soprattutto: mi vale la promozione???
Risposte
mi concentro sul dominio
passando in coordinate polari $ { ( x=\rho \cos \theta ),( y=\rho \sin \theta ):} $
io direi che $ 1\leq \rho^2\leq 4\to \rho\in[1,2] $
per l'angolo $\theta$ io direi
$ x/2\leq y\leq 2x\to (\rho \cos\theta)/(2)\leq \rho \sin \theta\leq 2\rho \cos \theta\to 1/2\leq tan\theta\leq 2 $
quindi $ \arctan(1/2)\leq \theta\leq \arctan(2) $
ah NON ti scordare lo jacobiano $ det Jac=\rho $
quindi $ \int_(\arctan(1/2))^(\arctan(2))d\theta(\int_(0)^(2)\rho \cdot f(\rho\cos \theta,\rho \sin \theta)d\rho) $
passando in coordinate polari $ { ( x=\rho \cos \theta ),( y=\rho \sin \theta ):} $
io direi che $ 1\leq \rho^2\leq 4\to \rho\in[1,2] $
per l'angolo $\theta$ io direi
$ x/2\leq y\leq 2x\to (\rho \cos\theta)/(2)\leq \rho \sin \theta\leq 2\rho \cos \theta\to 1/2\leq tan\theta\leq 2 $
quindi $ \arctan(1/2)\leq \theta\leq \arctan(2) $
ah NON ti scordare lo jacobiano $ det Jac=\rho $
quindi $ \int_(\arctan(1/2))^(\arctan(2))d\theta(\int_(0)^(2)\rho \cdot f(\rho\cos \theta,\rho \sin \theta)d\rho) $
Si, dopo avevo pensato a scrivere gli angoli in arctan. Tuttavia ho preferito l'arcsen in quanto si semplificava con la primitiva della funzione.
Dunque è corretto?
Grazie
Dunque è corretto?
Grazie
non lo so se è corretto..ho solamente applicato trigonometria.. XD
fai attenzione però al $\rho$
quando hai una cosa così $ \alpha\leq x^2+y^2\leq \beta\to \sqrt(\alpha)\leq \rho \leq \sqrt(\beta) $
fai attenzione però al $\rho$
quando hai una cosa così $ \alpha\leq x^2+y^2\leq \beta\to \sqrt(\alpha)\leq \rho \leq \sqrt(\beta) $
Ottimo suggerimento per il dominio, in effetti non ci avevo mai pensato....
Così si evitano inutili elucubrazioni!
Così si evitano inutili elucubrazioni!
ci ho pensato stamane..e sono più che sicuro che sia corretto..
perchè (faccio solo la parte di integrazione in $\theta$)
con i miei ragionamenti $ \theta\in [\arctan(1/2),\arctan(2)] $
facendo l'integrale
$ \int_(\arctan(1/2))^(\arctan(2)) \cos\theta d\theta= \sin(\arctan(2))-\sin(\arctan(1/2)) $
ora che numero è?.. o lo lasci così..
oppure ti puoi ricordare che $ \sin(\alpha)=\pm (\tan(\alpha))/(\sqrt(1+\tan^2(\alpha))) $
quindi per esempio
$ \sin(\arctan(1/2))=+ (\tan(\arctan(1/2)))/(\sqrt(1+\tan^2(\arctan(1/2))))=(1/2)/(\sqrt(1+1/4))=(1)/(\sqrt(5)) $
stessa cosa la fai per $\sin(\arctan(2))$
perchè (faccio solo la parte di integrazione in $\theta$)
con i miei ragionamenti $ \theta\in [\arctan(1/2),\arctan(2)] $
facendo l'integrale
$ \int_(\arctan(1/2))^(\arctan(2)) \cos\theta d\theta= \sin(\arctan(2))-\sin(\arctan(1/2)) $
ora che numero è?.. o lo lasci così..
oppure ti puoi ricordare che $ \sin(\alpha)=\pm (\tan(\alpha))/(\sqrt(1+\tan^2(\alpha))) $
quindi per esempio
$ \sin(\arctan(1/2))=+ (\tan(\arctan(1/2)))/(\sqrt(1+\tan^2(\arctan(1/2))))=(1/2)/(\sqrt(1+1/4))=(1)/(\sqrt(5)) $
stessa cosa la fai per $\sin(\arctan(2))$
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