Integrale doppio, estremi integrazione coordinate polari

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29 dic 2015, 16:15

Salve a tutti! Spero di non aver sbagliato a postare qui la domanda. Vi scrivo perchè ho qualche dubbio con gli estremi di integrazione quando faccio il cambio di variabili negli integrali doppi, in particolare con questo esercizio:
$\displaystyle \int_{\Omega} xydxdy $
con
$\displaystyle \Omega ={(x,y): x^2+y^2<1,x^2+y^2<2x,y>0} $.

Passando in coordinate polari e ponendo $\displaystyle x=\rho cos\theta; y=\rho sin\theta $ ho che
\begin{matrix}
0<\rho<1\\
0<\rho<2cos\theta \\
0<\theta<\pi/2\\

\end{matrix}

Dalla seconda condizione ho anche che $\displaystyle \theta<\pi/3 $ e quindi sono un po'
nel pallone perchè non so se considerare $\displaystyle \theta $ di pi/2 o pi/3. Facendo il
disegno in coordinate cartesiane considererei da 0 a pi/3

, ma così facendo non esce il risultato.
Credo di avere le idee un po' confuse, spero che voi possiate aiutarmi.

Grazie mille.

Risposte

quantunquemente

29 dic 2015, 15:18

ma io non riesco a vedere $Omega$

quantunquemente

29 dic 2015, 15:27

ora lo vedo
è questo,no ?
$Omega={x^2+y^2<1,x^2+y^2<2x,y>0}$
ora gli do un'occhiata

p.s. metti il dollaro all'inizio e alla fine delle formule

ElenaVet1

29 dic 2015, 15:28

"quantunquemente":
ora lo vedo
è questo,no ?
$Omega={x^2+y^2<1,x^2+y^2<2x,y>0}$
ora gli do un'occhiata

p.s. metti il dollaro all'inizio e alla fine delle formule

Sì, è questo!

Lo_zio_Tom

29 dic 2015, 15:29

hai fatto tutto per bene!

le prime due condizioni che hai trovato

"ElenaVet":

\begin{matrix}
0<\rho<1\\
0<\rho<2cos\theta \\

\end{matrix}

implicano che:

$rho
quindi quando $0
quando invece $pi/3

@Quantunquemente: non avevo visto che avevi già risposto

ElenaVet1

29 dic 2015, 15:38

"tommik":
hai fatto tutto per bene!

le prime due condizioni implicano che

$rho
quindi quando $0
quando invece $pi/3

Non mi è ben chiara l'introduzione della funzione di minimo, a lezione non ne abbiamo parlato. Tommik, potresti gentilmente spiegarmela un po' meglio?
Inoltre $theta>pi/3$ l'ho trovato imponendo $rho=1$ visto che è il massimo valore che può assumere e trovando quindi $2costheta>1$. Il ragionamento di fondo è giusto?

Lo_zio_Tom

29 dic 2015, 15:42

passando in coordinate polari TU hai giustamente osservato che:

${{: ( 0
se osserviamo attentamente le prime due condizioni (che devono essere soddisfatte contemporaneamente!) notiamo che $rho$ deve essere minore di 1 ma anche minore di $2costheta$

Quindi si può dedurne che $rho$ deve essere minore del più piccolo valore fra uno e $2costheta$ ovvero

$rho
non resta che vedere quando $2costheta<1$, ovvero quando $costheta<1/2$, ovvero quando $theta>pi/3$

a questo punto spezziamo il nostro intervallo $theta in [0;pi/2]$ in due:

$[0;pi/3]uu (pi/3;pi/2]$

nel primo intervallo abbiamo che $2costheta>1$ e quindi integriamo in $0
nel secondo intervallo abbiamo che $2costheta<1$ e quindi integriamo in $0
ora è più chiaro?

quantunquemente

29 dic 2015, 15:46

"tommik":
@Quantunquemente: non avevo visto che avevi già risposto

no problem
ciao

ElenaVet1

29 dic 2015, 16:06

Credo mi sia tutto più chiaro! quando integro avrò $\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \rho^3 cos\thetasin\theta d\rho d\theta$ + $\int_{0}^{2cos\theta}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} rho^3 cos\thetasin\theta d\rho d\theta$ giusto?