Integrale doppio ellisse circonferenza
Salve a tutti, ho a che fare con il seguente integrale doppio : $ int_D x^2+y^2 dx dy $ dove $D$ è la regione del piano esterna all'ellisse di equazione $x^2+4y^2=1$ e interna alla circonferenza $ x^2+y^2=1$. Ho risolto l'integrale calcolando la differenza tra l'integrale sulla circonferenza e quella sull'ellisse ( in particolare ho considerato solo un quadrante e poi moltiplicato per 4 essendo la nostra funzione pari ).
Un'altra parametrizzazione cui avevo pensato è la seguente:
$\{(x = \rho cos(\alpha)),(y = \rho sin(\alpha)):}$ con $ 0<=\alpha<=pi/2 $ e $1/(1+3sin^2(\alpha))^(1/2)<=\rho<=1 $ dove ho calcolato come varia$ \rho$ sostituendo nell'equazioni della circonferenza e dell'ellisse. Tuttavia l'integrale che mi viene fuori in questo secondo caso è: $ int_0^(pi/2) 1/(1+3sin^2(\alpha))^2 d\alpha $ che non riesco a risolvere. Per farla breve le mie domande sono:
-la seconda parametrizzazione è corretta?
-mi date qualche spunto per risolvere l'integrale?
Grazie in anticipo
Un'altra parametrizzazione cui avevo pensato è la seguente:
$\{(x = \rho cos(\alpha)),(y = \rho sin(\alpha)):}$ con $ 0<=\alpha<=pi/2 $ e $1/(1+3sin^2(\alpha))^(1/2)<=\rho<=1 $ dove ho calcolato come varia$ \rho$ sostituendo nell'equazioni della circonferenza e dell'ellisse. Tuttavia l'integrale che mi viene fuori in questo secondo caso è: $ int_0^(pi/2) 1/(1+3sin^2(\alpha))^2 d\alpha $ che non riesco a risolvere. Per farla breve le mie domande sono:
-la seconda parametrizzazione è corretta?
-mi date qualche spunto per risolvere l'integrale?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao!
Ma perchè devi complicarti la vita,dopo essertela semplificata per benino ??!!
Va beh,mi sà che non ti convinco
:
i tuoi conti non li ho comunque controllati con carta,penna e calamaio,
ma ad occhio e croce c'è da fidarsi tanto per le considerazioni sulle simmetrie,
quanto per la parametrizzazione del dominio in coordinate polari e per la corretta applicazione del teorema sul passaggio ad esse nel calcolo degli integrali doppi..
Se nei tuoi volteggi tra le formule ti sei infine ricondotto a quell'integrale
(che mi sembra plausibile,ad un primo preoccupato sguardo..),
e vuoi proprio fare come San Tommaso,
direi di porre $t=tgalpharArrsen^2alpha=cdots$:
buon lavoro sulla razionale fratta da integrare,
che solo a pensare di svolgerla io mi verrebbe naturale l'emoticon
(ma nel caso fà lo stesso un fischio..)!
Saluti dal web.
Ma perchè devi complicarti la vita,dopo essertela semplificata per benino
??!!Va beh,mi sà che non ti convinco
:i tuoi conti non li ho comunque controllati con carta,penna e calamaio,
ma ad occhio e croce c'è da fidarsi tanto per le considerazioni sulle simmetrie,
quanto per la parametrizzazione del dominio in coordinate polari e per la corretta applicazione del teorema sul passaggio ad esse nel calcolo degli integrali doppi..
Se nei tuoi volteggi tra le formule ti sei infine ricondotto a quell'integrale
(che mi sembra plausibile,ad un primo preoccupato sguardo..),
e vuoi proprio fare come San Tommaso,
direi di porre $t=tgalpharArrsen^2alpha=cdots$:
buon lavoro sulla razionale fratta da integrare,
che solo a pensare di svolgerla io mi verrebbe naturale l'emoticon
(ma nel caso fà lo stesso un fischio..)!
Saluti dal web.
Avevo anche io provato con $t=tan(\alpha)$ ma speravo in qualcosa di più abbordabile xD Comunque grazie
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