Integrale doppio ed ellisse[Urgente mercoledi ho l'esame:( ]
ho due domande :
1) Il mio problema è calcolare l'integrale doppio che potete vedere nell'esercizio 5d del seguente pdf
http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi3/pdf/doppi-svolti.pdf
nel pdf c'è anche la soluzione ma non la capisco.
Come posso portare in cordinate polari l'ellisse ?
IO ho usato x= a ro cos teta
e
y= b ro sen teta
in più ho moltiplicato la funzione per la jacobiana : a b ro
quindi mi veniva l'integrale tra 0 e 1 in dteta e tra 0 e pigreco di 12 ro^2sen teta
però ho visto che è sbagliato tutto.. Mi potete spiegare dove sbaglio e come va parametrizzata ?
2) la circonferenza si parametrizza in x= ro cos teta e y= ro sen teta e la funzione va moltiplicata per ro , giusto ?
E'abbastanza urgente perchè mercoledi ho l'esame e ho questi dubbi sugli integrali doppi. Se mi date una mano vi ringrazio infinitamente !!! Ciao e scusate per il disturbo !!!
p.s : scusate se la forma delle funzioni che ho scritto non è corretta per il sito , ma ho scoperto questo sito solo stasera
1) Il mio problema è calcolare l'integrale doppio che potete vedere nell'esercizio 5d del seguente pdf
http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi3/pdf/doppi-svolti.pdf
nel pdf c'è anche la soluzione ma non la capisco.
Come posso portare in cordinate polari l'ellisse ?
IO ho usato x= a ro cos teta
e
y= b ro sen teta
in più ho moltiplicato la funzione per la jacobiana : a b ro
quindi mi veniva l'integrale tra 0 e 1 in dteta e tra 0 e pigreco di 12 ro^2sen teta
però ho visto che è sbagliato tutto.. Mi potete spiegare dove sbaglio e come va parametrizzata ?
2) la circonferenza si parametrizza in x= ro cos teta e y= ro sen teta e la funzione va moltiplicata per ro , giusto ?
E'abbastanza urgente perchè mercoledi ho l'esame e ho questi dubbi sugli integrali doppi. Se mi date una mano vi ringrazio infinitamente !!! Ciao e scusate per il disturbo !!!
p.s : scusate se la forma delle funzioni che ho scritto non è corretta per il sito , ma ho scoperto questo sito solo stasera
Risposte
L'autore della dispensa considera l'ellisse $4x^2+9y^2=36$ e la riscrive, con semplici passaggi algebrici, in forma canonica: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$. Nel tuo caso, $a^2=3^2$ e $b^2=2^2$, da cui immediatamente $a=3$ e $b=2$. A questo punto, entrano in gioco le coordinate ellittiche, generalizzazione delle coordinate polari:
${(x(theta,rho)=a\rhocostheta),(y(theta,rho)=b\rhosintheta):}$
A questo punto, considera il tuo dominio di integrazione. Si tratta, in parole povere, della metà superiore della tua ellisse (compresa l'area interna). Quindi $0<=rho<=1$ (consideri "tutta la superficie dell'ellisse", non solo una "corona ellittica" - spero di essermi spiegato) e $0<=theta<=pi$ (consideri solo metà ellisse, che intera "ha angolo" $2pi$). A questo punto, sostituisci nell'integrale e moltiplici per lo Jacobiano. Così sei a cavallo.
PS: benvenuto nel forum
${(x(theta,rho)=a\rhocostheta),(y(theta,rho)=b\rhosintheta):}$
A questo punto, considera il tuo dominio di integrazione. Si tratta, in parole povere, della metà superiore della tua ellisse (compresa l'area interna). Quindi $0<=rho<=1$ (consideri "tutta la superficie dell'ellisse", non solo una "corona ellittica" - spero di essermi spiegato) e $0<=theta<=pi$ (consideri solo metà ellisse, che intera "ha angolo" $2pi$). A questo punto, sostituisci nell'integrale e moltiplici per lo Jacobiano. Così sei a cavallo.
PS: benvenuto nel forum
Ben arrivato nel forum! Ti consiglio di leggere cme si scrivono decentemente le formule (così ti aiutiamo meglio ) al seguente link:https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html.
Detto ciò passiamo ai tuoi dubbi, prova la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari che deriva direttamente da:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
ovvero:
${(x= a*rho*cos theta),(y=b*rho*sin theta):}$
Nel tuo caso $4x^2+9y^2<=36$ porta a $(x^2)/(3^2)+(y^2)/(2^2)=1$ e quindi alla parametrizzazione:
${(x= 3*rho*cos theta),(y=2*rho*sin theta):}$
con $rho in [0,1)$ e $theta in [0,2pi)$. Se fai due conti poi vedrai che il determinante dello Jacobiano è:
$det((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta)) = 6*rho$.
Il resto (semplice) lo lascio a te. Per il secondo punto, sì il determinante dello Jacobiano è $rho$.
) al seguente link:https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html.Detto ciò passiamo ai tuoi dubbi, prova la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari che deriva direttamente da:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
ovvero:
${(x= a*rho*cos theta),(y=b*rho*sin theta):}$
Nel tuo caso $4x^2+9y^2<=36$ porta a $(x^2)/(3^2)+(y^2)/(2^2)=1$ e quindi alla parametrizzazione:
${(x= 3*rho*cos theta),(y=2*rho*sin theta):}$
con $rho in [0,1)$ e $theta in [0,2pi)$. Se fai due conti poi vedrai che il determinante dello Jacobiano è:
$det((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta)) = 6*rho$.
Il resto (semplice) lo lascio a te. Per il secondo punto, sì il determinante dello Jacobiano è $rho$.
grazie a tutti ora mi torna
se non ci sono limitazioni sull'angolo teta è compreso tra 0 e 2pigreco? o tra 0 e pigreco, non riesco a capire
"Lord K":
Ben arrivato nel forum! Ti consiglio di leggere cme si scrivono decentemente le formule (così ti aiutiamo meglio
Detto ciò passiamo ai tuoi dubbi, prova la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari che deriva direttamente da:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
ovvero:
${(x= a*rho*cos theta),(y=b*rho*sin theta):}$
Nel tuo caso $4x^2+9y^2<=36$ porta a $(x^2)/(3^2)+(y^2)/(2^2)=1$ e quindi alla parametrizzazione:
${(x= 3*rho*cos theta),(y=2*rho*sin theta):}$
con $rho in [0,1)$ e $theta in [0,2pi)$. Se fai due conti poi vedrai che il determinante dello Jacobiano è:
$det((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta)) = 6*rho$.
Il resto (semplice) lo lascio a te. Per il secondo punto, sì il determinante dello Jacobiano è $rho$.
riporto in vita questo post per chiedere come costruirmi la matrice dello Jacobiano!
nel tuo esempio qui sopra hai $x = 3\rhocos*\theta$ e $y = 2\rhosin*\theta$
come si arriva a $((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta))$
grazie in anticipo!
edit
misà che mi torna
$x = a*\rhocos\theta$
$y = b*\rhocos\theta$
$J = ((a*cos\theta, -a*\rho*sin\theta), (b*sin\theta, b*\rho*cos\theta))$ dove nella seconda colonna ci sono le derivate della prima colonna!
"matths87":
A questo punto, considera il tuo dominio di integrazione. Si tratta, in parole povere, della metà superiore della tua ellisse (compresa l'area interna). Quindi $0<=rho<=1$ (consideri "tutta la superficie dell'ellisse", non solo una "corona ellittica" - spero di essermi spiegato)
riporto alla luce il topic per una questione sul punto citato..
(intanto il link postato da aeroxr1 non si vede
)la mia ellisse è similie, ma con
a=3
b=1
ed è considerata la parte nel primo quadrante.
Il mio problema sta nel determinare le limitazioni di $rho$
che nemmeno nel caso dell'utente che ha aperto il topic, mi torna
sarebbe una questione abbastanza urgente dato che domani ho l'esame
"Sweet Angel":
[quote="matths87"]A questo punto, considera il tuo dominio di integrazione. Si tratta, in parole povere, della metà superiore della tua ellisse (compresa l'area interna). Quindi $0<=rho<=1$ (consideri "tutta la superficie dell'ellisse", non solo una "corona ellittica" - spero di essermi spiegato)
riporto alla luce il topic per una questione sul punto citato..
(intanto il link postato da aeroxr1 non si vede
)la mia ellisse è similie, ma con
a=3
b=1
ed è considerata la parte nel primo quadrante.
Il mio problema sta nel determinare le limitazioni di $rho$
che nemmeno nel caso dell'utente che ha aperto il topic, mi torna
sarebbe una questione abbastanza urgente dato che domani ho l'esame
[/quote]è molto più semplice di qunto pensi, immagino che il tuo elisse sia $x^2/3^2 + y^2 = 1$ allora applichi le polari del tipo:
$x = 3\rhocos\theta$
$y = \rhosen\theta$
Così ottieni un cerchio centrato nell' origine, perchè viene eliminato quel $a^2$. Sostituendo le polari trovi: $\rho^2cos^2\theta + \rho^2sen^2\theta = 1$, raccogliendo: $\rho^2 = 1$, ti verrebbe $-1 < \rho < +1$, ma sai che $\rho$ deve essere maggiore di zero. Quindi $0 < \rho < 1$.
A questo punto, visto che hai solo il primo quadrante, ti basta dire: $0 < \theta < \pi/4$
@clockover: la matrice jacobiana è definita così: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobiana
"stefano_89":
A questo punto, visto che hai solo il primo quadrante, ti basta dire: $0 < \theta < \pi/4$
non dovrei avere $0 < \theta < \pi/2$
?
comunque grazie per la speigazione
"Sweet Angel":
[quote="stefano_89"]A questo punto, visto che hai solo il primo quadrante, ti basta dire: $0 < \theta < \pi/4$
non dovrei avere $0 < \theta < \pi/2$
?
comunque grazie per la speigazione
[/quote]Ah certo scusa, ero un pò di fretta--
ragazzi ho un problema con un'ellisse e l esame è imminente! chi mi dà una mano??
Ho un'ellisse traslata! 4(x+1)^2 +(y+1)^2=4
Mi confermate che il determinante è comunque 2ro??
Un'altra domanda: quando passo alla risoluzione dell'integrale doppio ro varia tra???
grazie a chiunque mi risponderà!
Ho un'ellisse traslata! 4(x+1)^2 +(y+1)^2=4
Mi confermate che il determinante è comunque 2ro??
Un'altra domanda: quando passo alla risoluzione dell'integrale doppio ro varia tra???
grazie a chiunque mi risponderà!
"clockover":
[quote="Lord K"]Ben arrivato nel forum! Ti consiglio di leggere cme si scrivono decentemente le formule (così ti aiutiamo meglio
Detto ciò passiamo ai tuoi dubbi, prova la parametrizzazione dell'ellisse in coordinate polari che deriva direttamente da:
$(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1$
ovvero:
${(x= a*rho*cos theta),(y=b*rho*sin theta):}$
Nel tuo caso $4x^2+9y^2<=36$ porta a $(x^2)/(3^2)+(y^2)/(2^2)=1$ e quindi alla parametrizzazione:
${(x= 3*rho*cos theta),(y=2*rho*sin theta):}$
con $rho in [0,1)$ e $theta in [0,2pi)$. Se fai due conti poi vedrai che il determinante dello Jacobiano è:
$det((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta)) = 6*rho$.
Il resto (semplice) lo lascio a te. Per il secondo punto, sì il determinante dello Jacobiano è $rho$.
riporto in vita questo post per chiedere come costruirmi la matrice dello Jacobiano!
nel tuo esempio qui sopra hai $x = 3\rhocos*\theta$ e $y = 2\rhosin*\theta$
come si arriva a $((3*cos theta, -3*rho*sin theta),(2*sin theta, 3*rho*cos theta))$
grazie in anticipo!
edit
misà che mi torna
$x = a*\rhocos\theta$
$y = b*\rhocos\theta$
$J = ((a*cos\theta, -a*\rho*sin\theta), (b*sin\theta, b*\rho*cos\theta))$ dove nella seconda colonna ci sono le derivate della prima colonna![/quote]
non sono le derivate della prima colonna!, ma sono nella prima colonna le derivate rispetto a $rho$ e nella seconda rispetto a $ theta$
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