Integrale doppio e sommabilità della funzione integranda
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.
Dopo aver stabilito la sommabilità della funzione integranda calcolare
$int_{T} y/x dxdy$
essendo
$T={(x,y) in RR^2: y^2<=x<=y}$
L'insieme T può essere rappresentato come segue:
http://imageshack.us/photo/my-images/208/grafico3.png/
Ciò che non ho capito è come si fa a stabilire la sommabilità di $f(x,y)=y/x$ in T.
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.
Dopo aver stabilito la sommabilità della funzione integranda calcolare
$int_{T} y/x dxdy$
essendo
$T={(x,y) in RR^2: y^2<=x<=y}$
L'insieme T può essere rappresentato come segue:
http://imageshack.us/photo/my-images/208/grafico3.png/
Ciò che non ho capito è come si fa a stabilire la sommabilità di $f(x,y)=y/x$ in T.
Risposte
Potresti fare in questo modo: definisci la successione di funzioni misurabili in $T$ :$f_{\epsilon}(x,y)=(y)/(x+\epsilon)$ che chiaramente tende puntualmente a $f(x,y)=y/x$ per $\epsilon\to 0$. Inoltre, in $T$ si ha $|f_{\epsilon}(x,y)|\leq |y/(y^2+\epsilon)|\leq 1$. Essendo $T$ compatto, la funzione $1$ è ivi sommabile. Vuoi provare a concludere tu ora?
Paola
Paola
O, anche, consideri il dominio \(T_\varepsilon := T\cap \{y>\varepsilon\}\) (con \(\varepsilon >0\) piccolo) ed integri su \(T_\varepsilon\); poi mandi \(\varepsilon \to 0^+\) e vedi che succede.
Posto qui di seguito lo svolgimento che mi è stato dato dal mio prof.
$y/x$ e minore e maggiore di 0 quasi ovunque in T
Per il teorema di Tonelli
$int_{T} y/x dxdy=int_{0}^{1} 1/y int_{y^2}^{y} x dx dy = 1/2 int_{0}^{1} 1/y(y^2-y^4) dy = 1/2 int_{0}^{1} (y-y^3) dy in RR$
Quindi la funzione è sommabile in T
$int_{T} y/x dxdy=1/2 int_{0}^{1} (y-y^3) dy = 1/8$
Purtroppo non ho capito molto. Mi sapreste spiegare?
$y/x$ e minore e maggiore di 0 quasi ovunque in T
Per il teorema di Tonelli
$int_{T} y/x dxdy=int_{0}^{1} 1/y int_{y^2}^{y} x dx dy = 1/2 int_{0}^{1} 1/y(y^2-y^4) dy = 1/2 int_{0}^{1} (y-y^3) dy in RR$
Quindi la funzione è sommabile in T
$int_{T} y/x dxdy=1/2 int_{0}^{1} (y-y^3) dy = 1/8$
Purtroppo non ho capito molto. Mi sapreste spiegare?
Ha semplicemente parametrizzato il dominio $T$ usando la sua definizione.
Paola
Paola
Capito, ma perché nello svolgimento dell'integrale c'è x/y invece di y/x?
up
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Si vede che la funzione da integrare era $[f(x,y)=x/y]$.
quindi un errore del prof. in pratica...
Pensandoci bene mi sembra abbastanza difficile che sia un errore del mio prof. Qualche altro suggerimento?
up
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Scusa ma, non fai prima ad andare dal docente? A me la svista sembra evidente.
Il docente è cambiato da poco. Diciamo che era più che altro una mia curiosità. Comunque grazie lo stesso.
Non preoccuparti, lo dicevo per te.
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