Integrale doppio e simmetrie
Ciao,
qualcuno riesce a dirmi se il mio ragionamento sulle simmetrie di questo integrale è corretto?
dove
dunque \(\displaystyle D \) è l'intersezione tra un ellisse e una parabola e presenta una simmetria rispetto l'asse x. La funzione \(\displaystyle y \) è dispari rispetto a \(\displaystyle y \) quindi l'integrale doppio è nullo.
qualcuno riesce a dirmi se il mio ragionamento sulle simmetrie di questo integrale è corretto?
\(\displaystyle \int_D y dx dy \)
dove
\(\displaystyle D=\{(x,y): x^2+9y^2\leq 1, 3x+9y^2\leq 1\}
\)
\)
dunque \(\displaystyle D \) è l'intersezione tra un ellisse e una parabola e presenta una simmetria rispetto l'asse x. La funzione \(\displaystyle y \) è dispari rispetto a \(\displaystyle y \) quindi l'integrale doppio è nullo.
Risposte
Il fatto che l'insieme sia simmetrico rispetto all'asse x significa che puoi risolvere il tuo integrale integrando su un insieme 'più piccolo' e successivamente moltiplicare tutto per due (in questo caso il dominio si riduce, secondo tuo piacimento, alla parte superiore/inferiore dell'intersezione delle due figure). Successivamente devi scomporre il tuo integrale in due integrali, uno in $dx$ e l'altro in $dy$.
Successivamente non ti interessa fare nessuna osservazione sulla funzione che devi integrare, ma devi scrivere gli estremi di integrazione, in base a quale variabile decidi di integrare per prima.
Se decidi di integrare prima per y e poi per x cioè $$\int dx \int y dy$$ ti faccio notare che NON conviene perché dovresti dividere questo integrale a sua volta in due integrali, infatti in questo caso conviene integrare prima in x e poi y, cioè $$\int dy \int y dx$$ infatti ti basta trovare l'ordinata y del punto $P(0,\alpha)$ in cui la parabola e l' ellisse si incontrano in modo tale che:
$2\int_0 ^\alpha dy \int_sqrt(1-9y^2) ^\frac{1-9y^2}{3} y dx$
Successivamente non ti interessa fare nessuna osservazione sulla funzione che devi integrare, ma devi scrivere gli estremi di integrazione, in base a quale variabile decidi di integrare per prima.
Se decidi di integrare prima per y e poi per x cioè $$\int dx \int y dy$$ ti faccio notare che NON conviene perché dovresti dividere questo integrale a sua volta in due integrali, infatti in questo caso conviene integrare prima in x e poi y, cioè $$\int dy \int y dx$$ infatti ti basta trovare l'ordinata y del punto $P(0,\alpha)$ in cui la parabola e l' ellisse si incontrano in modo tale che:
$2\int_0 ^\alpha dy \int_sqrt(1-9y^2) ^\frac{1-9y^2}{3} y dx$
Intanto grazie per la risposta! 
Da quello che ho capito, non basta guardare la simmetria dell'insieme, bisogna capire anche la simmetria della funzione. Infatti ciò che dici tu è vero solo se \(\displaystyle f \) è pari rispetto a y. Se invece \(\displaystyle f \) è dispari (come in questo caso) l'integrale della funzione è nullo.
Mi ero fatta questo schema mentale:
1)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse x e \(\displaystyle f \) dispari rispetto a y -----> integrale nullo
2)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse x e \(\displaystyle f \) pari rispetto a y-----> integrale doppio di quello su \(\displaystyle D^+ \)
3)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse y e \(\displaystyle f \) dispari rispetto a x -----> integrale nullo
4)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse y e \(\displaystyle f \) pari rispetto a x -----> integrale doppio di quello su \(\displaystyle D^+ \)
Questa è una delle cose che pensavo di aver capito...ora mi hai fatto venire i dubbi
"MerakUrsaeMajoris":
Il fatto che l'insieme sia simmetrico rispetto all'asse x significa che puoi risolvere il tuo integrale integrando su un insieme 'più piccolo' e successivamente moltiplicare tutto per due
Da quello che ho capito, non basta guardare la simmetria dell'insieme, bisogna capire anche la simmetria della funzione. Infatti ciò che dici tu è vero solo se \(\displaystyle f \) è pari rispetto a y. Se invece \(\displaystyle f \) è dispari (come in questo caso) l'integrale della funzione è nullo.
Mi ero fatta questo schema mentale:
1)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse x e \(\displaystyle f \) dispari rispetto a y -----> integrale nullo
2)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse x e \(\displaystyle f \) pari rispetto a y-----> integrale doppio di quello su \(\displaystyle D^+ \)
3)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse y e \(\displaystyle f \) dispari rispetto a x -----> integrale nullo
4)\(\displaystyle D \) simmetrico rispetto all'asse y e \(\displaystyle f \) pari rispetto a x -----> integrale doppio di quello su \(\displaystyle D^+ \)
Questa è una delle cose che pensavo di aver capito...ora mi hai fatto venire i dubbi
Allora sono andata a cercare quello che dici tu ed ho trovato questo:
''Sappiamo che in una variabile sola un integrale su un intervallo simmetrico rispetto all'origine di una funzione simmetrica può essere semplificato: $$\int_{-a} ^a f(x) dx =$$ $0$ se $f(x)$ è dispari
$2\int_0 ^a f(x) dx$ se $f(x)$ è dispari.
La stessa situazione si ripete in più variabili se integriamo rispetto a una certa variabile su un dominio simmetrico RISPETTO QUELLA VARIABILE.''
''Sappiamo che in una variabile sola un integrale su un intervallo simmetrico rispetto all'origine di una funzione simmetrica può essere semplificato: $$\int_{-a} ^a f(x) dx =$$ $0$ se $f(x)$ è dispari
$2\int_0 ^a f(x) dx$ se $f(x)$ è dispari.
La stessa situazione si ripete in più variabili se integriamo rispetto a una certa variabile su un dominio simmetrico RISPETTO QUELLA VARIABILE.''
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