Integrale doppio e dominio normale
Buonasera a tutti, ho dei grossi problemi con i domini normali. Non ho proprio capito graficamente cosa significa; quindi vorrei, se possibile, una vostra spiegazione molto pratica. La mia prof ci ha detto che un dominio è normale rispetto ad un asse se " tracciando la normale rispetto all'asse x (ad esempio), incontriamo il dominio in soli due punti". Ho provato a svolgere questa operazione in domini non normali, ma non riesco proprio a capirne la differenza.
Svolgendo questo integrale doppio ho risolto nel seguente modo:
\(\displaystyle \int \int_D x^2 y dx dy\) dove \(\displaystyle D={(x,y)\in \mathbb{R^2} : |x-2| \leq y \leq} \frac{x}{2}\)
Disegnando il dominio ottengo questa figura
Credo che sia normale rispetto all'asse x (non ne sono sicuro!), quindi per prima cosa vado a vedere il valore iniziale e finale delle x nel dominio impostando il sistema
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
y=\frac{x}{2}\\y=|x-2|
\end{cases}
\end{equation} \)
da cui ottengo i punti \(\displaystyle (4/3,2/3) \) e \(\displaystyle (4,2) \)
Riscrivo l'integrale doppio come
\(\displaystyle \int_\frac{4}{3}^4 \lgroup \int_\frac{x}{2}^{|x-2|} x^2 y dy \rgroup dx =\int_\frac{4}{3}^4 \frac{x^2 (x-2)^2}{2}-\frac{x^4}{8}dx =...=\int_\frac{4}{3}^4 \frac{3x^4}{8}+\frac{4x^2}{2}-\frac{4x^3}{2}dx=...=-\frac{3584}{405}\)
Adesso vorrei sapere se l'ho svolto nel modo corretto, magari riuscendo a capire meglio la normalità. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta
Svolgendo questo integrale doppio ho risolto nel seguente modo:
\(\displaystyle \int \int_D x^2 y dx dy\) dove \(\displaystyle D={(x,y)\in \mathbb{R^2} : |x-2| \leq y \leq} \frac{x}{2}\)
Disegnando il dominio ottengo questa figura
Credo che sia normale rispetto all'asse x (non ne sono sicuro!), quindi per prima cosa vado a vedere il valore iniziale e finale delle x nel dominio impostando il sistema
\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
y=\frac{x}{2}\\y=|x-2|
\end{cases}
\end{equation} \)
da cui ottengo i punti \(\displaystyle (4/3,2/3) \) e \(\displaystyle (4,2) \)
Riscrivo l'integrale doppio come
\(\displaystyle \int_\frac{4}{3}^4 \lgroup \int_\frac{x}{2}^{|x-2|} x^2 y dy \rgroup dx =\int_\frac{4}{3}^4 \frac{x^2 (x-2)^2}{2}-\frac{x^4}{8}dx =...=\int_\frac{4}{3}^4 \frac{3x^4}{8}+\frac{4x^2}{2}-\frac{4x^3}{2}dx=...=-\frac{3584}{405}\)
Adesso vorrei sapere se l'ho svolto nel modo corretto, magari riuscendo a capire meglio la normalità. Vi ringrazio anticipatamente per la risposta
Risposte
Quindi come l'ho svolto io è sbagliato? Perchè il risultato è lo stesso, vorrei capire dov'è lo sbaglio. Grazie comunque della risposta!
Ciao TeM, ti assicuro che l'avevo letto, non mi sarei permesso di ignorarlo. Piuttosto ti faccio un'altra domanda:
perchè questo dominio non è normale?
Lo capisco con la definizione che ho letto nel tuo link, dato che non posso esprimere la x come intervallo di valori e la y come intervallo di funzioni (scusa se non l'ho detta in modo pulito). Secondo la definizione segnata a lezione, però, dovrebbe esserlo, dato che interseco la funzione in soli due punti. In ogni caso ho capito come procedere e ti ringrazio...se puoi verificare quella definizione ed eventualmente aiutarmi a capire dove sbaglio te ne sarei grato.
perchè questo dominio non è normale?
Lo capisco con la definizione che ho letto nel tuo link, dato che non posso esprimere la x come intervallo di valori e la y come intervallo di funzioni (scusa se non l'ho detta in modo pulito). Secondo la definizione segnata a lezione, però, dovrebbe esserlo, dato che interseco la funzione in soli due punti. In ogni caso ho capito come procedere e ti ringrazio...se puoi verificare quella definizione ed eventualmente aiutarmi a capire dove sbaglio te ne sarei grato.
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