Integrale doppio e dominio associato:

Ster24
Salve a tutti. Ho il seguente integrale doppio :
$\int int_D xsqrt(x^2+y^2) dxdy$ dove $ D= (x,y) in R^2 : x^2+y^2<=1, y>=1/2$
Non ho idea di come semplificarmi il dominio . Potreste darmi qualche input?

Risposte
21zuclo
il tuo dominio se lo disegni è il una ciconferenza centrata nell'orgine.. in questa circonferenza devi prendere la parte sopra alla retta $y=1/2$

per cui attenzione.. vedi i punti in cui la retta intereseca la circonferenza.. $ { ( y=1/2 ),( x^2 +y^2=1):}\to x^2+1/4=1\to x=\pm (\sqrt{3))/(2) $

poi dove variare la $y$?.. gioca con la disuguaglianza $x^2+y^2\leq 1\to y\leq \pm \sqrt{1-x^2}$

scelgo quella positiva.. $y\in [1/2, \sqrt{1-x^2}]$

a questo punto.. $ \int_((-\sqrt{3})/(2))^((\sqrt{3})/(2)) dx(\int_(1/2)^(\sqrt{1-x^2})x\sqrt{x^2+y^2}dy)=0 $

(potevi anche vederlo dal grafico)

se non ho sbagliato qualcosa..

Ster24
No ma infatti, dal grafico mi viene cosi. Non sapevo come scriverlo analiticamente. Ora come lo svolgo questo integrale? Ho pensato di porre x^2+y^2= t ma poi viene un qualcosa di orribile...Mi dai qualche consiglio?

21zuclo
l'integrale viene 0

perchè da così
$ \int_((-\sqrt{3})/(2))^((\sqrt{3})/(2)) dx(\int_(1/2)^(\sqrt{1-x^2})x\sqrt{x^2+y^2}dy)$

puoi vederlo scritto benissimo senza problemi $ \int_((-\sqrt{3})/(2))^((\sqrt{3})/(2))x dx(\int_(1/2)^(\sqrt{1-x^2})\sqrt{x^2+y^2}dy)$

ok che devi svolgere prima in $dy$, ma se guardi il $dx$ hai una funzione dispari su un intervallo simmetrico per cui è 0

e qualsiasi numero moltiplicato per 0 da 0.

Concludi che il tuo integrale iterato $\int \int f(x,y)dxdy=0$

Ster24
Wow, grazie mille ! Un'ultima domanda se voglio calcolarmi solo l'integrale in$ dy$ di $sqrt(x^2+y^2) dy$ come faccio? la $x^2$ come la considero ? come costante?

21zuclo
"Ster24":
Wow, grazie mille ! Un'ultima domanda se voglio calcolarmi solo l'integrale in$ dy$ di $sqrt(x^2+y^2) dy$ come faccio? la $x^2$ come la considero ? come costante?



esatto, si quando integri qualcosa in $dy$ che ha la variabile $x$, essa devi considerarla come una costante..

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