Integrale doppio e coordinate polari.
Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio.
Calcolare l'integrale $int int x/sqrt(x^2+y^2) dx dy$ su dominio $D={(x,y): x^2+y^2<=1; y>=1/2}$
Il dominio è la sezione superiore del cerchio azzurra:
Volendo fare il passaggio a coordinate polari, non mi sono chiari gli estremi di integrazione.
${(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sen(theta)):}$
quindi $int int x/sqrt(x^2+y^2) dx dy$ = $int int rho^2*cos(theta) drho d theta$
Il problema sono gli estremi di integrazione perchè se considero $0
Come potrei risolvere?
Calcolare l'integrale $int int x/sqrt(x^2+y^2) dx dy$ su dominio $D={(x,y): x^2+y^2<=1; y>=1/2}$
Il dominio è la sezione superiore del cerchio azzurra:
Volendo fare il passaggio a coordinate polari, non mi sono chiari gli estremi di integrazione.
${(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sen(theta)):}$
quindi $int int x/sqrt(x^2+y^2) dx dy$ = $int int rho^2*cos(theta) drho d theta$
Il problema sono gli estremi di integrazione perchè se considero $0
Come potrei risolvere?
Risposte
Meglio non passare per coordinate polari:
$D={(x,y)in RR^2 |-sqrt(1-y^2)<=x<=sqrt(1-y^2) , 1/2<=y<=1 }$
Integra prima rispetto a $x$, poi rispetto ad $y$
$D={(x,y)in RR^2 |-sqrt(1-y^2)<=x<=sqrt(1-y^2) , 1/2<=y<=1 }$
Integra prima rispetto a $x$, poi rispetto ad $y$
Per come era fatto l'integrale mi sembrava "naturale" dover passare a coordinate polari.
Grazie mille!
Grazie mille!
Integrando prima rispetto a x ottengo 0, quindi l'integrale doppio è nullo?
"Gi8":
Meglio non passare per coordinate polari:
$D={(x,y)in RR^2 |-sqrt(1-y^2)<=x<=sqrt(1-y^2) , 1/2<=y<=1 }$
Integra prima rispetto a $x$, poi rispetto ad $y$
il grafico del dominio postato da enzialdiff è corretto, questa parametrizzazione no.
così a prima vista direi di sfruttare i domini semplici, ma credo si possa risolvere anche con le coordinate polari, solo che non è molto conveniente
"enzialdiff":Sì. Infatti la funzione è dispari (rispetto a $x$) ed è integrata (sempre rispetto ad $x$) tra due quantità opposte.
Integrando prima rispetto a x ottengo 0, quindi l'integrale doppio è nullo?
"enr87":Perdonami, puoi essere più preciso? Perchè non è corretta quella parametrizzazione?
il grafico del dominio postato da enzialdiff è corretto, questa parametrizzazione no.
così a prima vista direi di sfruttare i domini semplici, ma credo si possa risolvere anche con le coordinate polari, solo che non è molto conveniente
La $y$ varia tra $1/2$ e $1$, e, fissata $y in [1/2,1]$, deve valere $x^2<=1-y^2$, quindi $-sqrt(1-y^2)<=x<=sqrt(1-y^2)$
Qui trovi un'ulteriore conferma.
scusa, al momento in cui ho scritto pensavo a un dominio semplice rispetto ad y, ma ora che ci ripenso hai ragione, si può anche fare così
@enr87: ok, a posto allora 
posso chiederti di illustrare il tuo procedimento? sono curioso
posso chiederti di illustrare il tuo procedimento? sono curioso
certo, si trattava solo di prendere l'altro dominio semplice: $ Omega = { (x,y) | -sqrt 3 / 2< x < sqrt 3 / 2, \ 1/2 < y < sqrt (1-x^2)}$
quindi si integra prima rispetto ad y (per integrare le cose impossibili uso wolfram
):
$int int_Omega \ x / sqrt(x^2 + y^2) dy dx = int x int 1/sqrt(x^2 + y^2) dy dx = int^(sqrt3/2)_(-sqrt3/2) x [ln(sqrt(y^2 + x^2) + y)]^sqrt(1-x^2)_1/2 $
continuando i calcoli esce 0, verificato con wolfram, sicuramente però conveniva col tuo metodo
quindi si integra prima rispetto ad y (per integrare le cose impossibili uso wolfram
):$int int_Omega \ x / sqrt(x^2 + y^2) dy dx = int x int 1/sqrt(x^2 + y^2) dy dx = int^(sqrt3/2)_(-sqrt3/2) x [ln(sqrt(y^2 + x^2) + y)]^sqrt(1-x^2)_1/2 $
continuando i calcoli esce 0, verificato con wolfram, sicuramente però conveniva col tuo metodo
Ok
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