Integrale doppio e coordinate polari

[geomematica]

Salve a tutti se io mi ritrovo ad esempio un integrale doppio di questo genere:

$ A = {(x,y) in RR^2 | x^2 +4y^2 <= 4 , x >= 0 } $

io so che devo trovare il volume sotteso da questo mezzo ellisse e so che tutto diventa più facile utilizzando le coordinate polari, xò non ho capito bene come faccio a sostituire x e y con le coordinate polari in caso di un ellisse...

[^Tipper^1]

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$. Quando passi in coordinate ellettiche, hai ${(x=a\rhocostheta),(y=b\rhosintheta):}$

Nel tuo caso, hai ${(x=2\rhocostheta),(y=\rhosintheta):}$ e ${(0<=\rho<=1),(-pi/2<=theta<=pi/2):}$.

[geomematica]

e per quale motivo al mio prof risulta una cosa di questo genere:

$ int_(0)^(2) int_(0)^(pi) 1/2 rho^3 cos^2(theta) d theta d rho $

quando a me risulterebbe

$ int_(0)^(1) int_(-pi/2)^(pi/2) rho^3 cos^2(theta) d theta d rho $

anche perchè l'integrale è:

$ int_(A)^() x^2 dx dy $

e il determinante della jacobiana in questo caso dovrebbe essere $ 2 rho $

[ciampax]

Pongo una domanda che potrà sembrare stupida: [tex]$A$[/tex] è il dominio di integrazione... ma l'integrale qual è?

[Sk_Anonymous]

Per far tornare gli estremi di integrazione del docente, dovresti utilizzare questa trasformazione di coordinate:

${(x=\rhosin\theta),(y=-\rho/2cos\theta):}$ con $0<=\rho<=2$ e $0<=theta<=\pi$.

Il modulo del determinante vale $\rho/2$. A questo punto però, la funzione integranda dovrebbe valere $\rho^2sin^2\theta$.

[geomematica]

ma per quale motivo dovrei fare una trasformazione come quella del prof? quella di Mirino06 mi sembrava più sensata...