Integrale doppio e coordinate polari
Salve. Non capisco,trasformando le coordinate cartesiane in polari, come posso ricavarmi l'angolo($theta$.)
Esempio:
In questa dispensa che mi ha dato Andrea990; esercizio e)
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _doppi.pdf
Non capisco come nella soluzione abbia ricavato $theta=pi/3$
Potete chiarirmi le idee, grazie
Esempio:
In questa dispensa che mi ha dato Andrea990; esercizio e)
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _doppi.pdf
Non capisco come nella soluzione abbia ricavato $theta=pi/3$
Potete chiarirmi le idee, grazie
Risposte
Avresti anche potuto riscrivere l'integrale... ( -.- )
$ int_Z xy dx dy$ con $ Z = { "("x; y")" in RR^2 : x^2 + y^2 < 1; x^2 + y^2 < 2x; y > 0 } $
1) $x^2 + y^2 < 1$ descrive l'interno della circonferenza centrata sull'origine ed avente raggio unitario.
2) $ y > 0$ siamo nel semiasse positivo delle ordinate.
3) $ x^2 + y^2 < 2x $ tecnicamente un paraboloide, ma conviene unire questa condizione alla prima, ottenendo:
$ x^2 + y^2 < min(1, 2x) $, ovvero, dato che $ 1 < 2x -> x > 1/2 $, possiamo spezzare il dominio in:
$Z_1 = { (x,y) \in RR^2 "t.c." x>1/2, y>0, x^2+y^2 < 1 } $
$Z_2 = { (x,y) \in RR^2 "t.c." x<1/2, y>0, x^2+y^2 < 2x } $
integrare in $Z_1$ è banale, proviamo comunque per polari:
$ x = \rho cos\theta $
$ y = \rho sin\theta $
con $\rho>0, \theta \in [0, 2\pi]$
dalle tre condizioni otteniamo:
$ \rho cos\theta > 1/2$
$ \rho sin\theta > 0 $
$ 0 < \rho < 1 $
sei capace di continuare?
$ int_Z xy dx dy$ con $ Z = { "("x; y")" in RR^2 : x^2 + y^2 < 1; x^2 + y^2 < 2x; y > 0 } $
1) $x^2 + y^2 < 1$ descrive l'interno della circonferenza centrata sull'origine ed avente raggio unitario.
2) $ y > 0$ siamo nel semiasse positivo delle ordinate.
3) $ x^2 + y^2 < 2x $ tecnicamente un paraboloide, ma conviene unire questa condizione alla prima, ottenendo:
$ x^2 + y^2 < min(1, 2x) $, ovvero, dato che $ 1 < 2x -> x > 1/2 $, possiamo spezzare il dominio in:
$Z_1 = { (x,y) \in RR^2 "t.c." x>1/2, y>0, x^2+y^2 < 1 } $
$Z_2 = { (x,y) \in RR^2 "t.c." x<1/2, y>0, x^2+y^2 < 2x } $
integrare in $Z_1$ è banale, proviamo comunque per polari:
$ x = \rho cos\theta $
$ y = \rho sin\theta $
con $\rho>0, \theta \in [0, 2\pi]$
dalle tre condizioni otteniamo:
$ \rho cos\theta > 1/2$
$ \rho sin\theta > 0 $
$ 0 < \rho < 1 $
sei capace di continuare?
"pater46":
$ x^2 + y^2 < min(1, 2x) $, ovvero, dato che $ 1 < 2x -> x > 1/2 $,
Come fai a dire che $2x >1 $?
"pater46":
sei capace di continuare?
Si
No, dipende infatti. Il valore di $ min( 1, 2x ) $ dipende appunto dal valore della $x$.
Per $x < 1/2$, avrai $2x < 1$, ergo $min(1, 2x) = 2x$
Viceversa per $x > 1/2 -> min(1, 2x) = 1$.
Spezzi l'integrale in base al valore assunto dalla x. Prova un pò a continuare e facci sapere!
Per $x < 1/2$, avrai $2x < 1$, ergo $min(1, 2x) = 2x$
Viceversa per $x > 1/2 -> min(1, 2x) = 1$.
Spezzi l'integrale in base al valore assunto dalla x. Prova un pò a continuare e facci sapere!
"pater46":
No, dipende infatti. Il valore di $ min( 1, 2x ) $ dipende appunto dal valore della $x$.
Per $x < 1/2$, avrai $2x < 1$, ergo $min(1, 2x) = 2x$
Viceversa per $x > 1/2 -> min(1, 2x) = 1$.
Spezzi l'integrale in base al valore assunto dalla x. Prova un pò a continuare e facci sapere!
Ok grazie
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