Integrale doppio e coordinate polari

[robying1]

Ciao a tutti.
Devo risolvere il seguente integrale doppio:
$ int int_ (D)^()sqrt(4-x^2-y^2) dx dy $
dove
$ D={(x,y) in mathbb(R) ^2 : 1<= x^2+y^2 <= 4} $

Io passerei in coordinate polari con il seguente cambio:

$ x= rho cos theta $
e
$ y= rho sin theta $
avendo
$ D={(rho,theta) : 0<=theta <=2pi , 1<= rho <= 2} $

A questo punto ottengo
$ sqrt(4-rho^2) rho (d rho) (d theta) $

...e qua non so come andare avanti...

Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie

[Noisemaker]

l'integrale è pressochè immediato ... infatti
\begin{align}
\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\int_{\rho=1}^{2}\rho\sqrt{4-\rho^2}\,\,d\rho d\vartheta&=2\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(\frac{\rho^2}{2}\right)= -\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(4- \rho^2\right)\\
&=-\pi\left[\frac{2}{3}(4-\rho^2)^{3/2}\right]_{\rho=1}^{2} =-\frac{2\pi}{3}\left[0-(3)^{3/2}\right] =2\pi\sqrt3.
\end{align}

[robying1]

"Noisemaker":l'integrale è pressochè immediato ... infatti
\begin{align}
\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\int_{\rho=1}^{2}\rho\sqrt{4-\rho^2}\,\,d\rho d\vartheta&=2\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(\frac{\rho^2}{2}\right)= -\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(4- \rho^2\right)\\
&=-\pi\left[\frac{2}{3}(4-\rho^2)^{3/2}\right]_{\rho=1}^{2} =-\frac{2\pi}{3}\left[0-(3)^{3/2}\right] =2\pi\sqrt3.
\end{align}

Intanto grazie Noisemaker
Non riesco a capire il passaggio
\begin{align}
\int_{\vartheta=0}^{2\pi}\int_{\rho=1}^{2}\rho\sqrt{4-\rho^2}\,\,d\rho d\vartheta&=2\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(\frac{\rho^2}{2}\right)= -\pi\int_{\rho=1}^{2} \sqrt{4-\rho^2}d\left(4- \rho^2\right)\\
&
\end{align}[/quote]
Scasami se mi soffermo su queste cose ma non capisco proprio il meccanismo:
perchè passo da
$ d rho $ a $ d ((rho^2)/2) ? $

[Noisemaker]

è un modo più veloce per procedere... se cosi non ti piace, poni la sostituzione
\[\sqrt{4-\rho^2}=t,\]
e procedi normalmente.