Integrale doppio e cambio di variabile

[lucagalbu]

Ciao. Sto cercando di risolvere questo integrale:
$\int_T (x+y)dxdy$
dove T è il dominio delimitato dalle rette y+2x=0, y+2x=1 e dalle parabole $y=x^2$ e $y=x^2+1$.
Se lo risolvo senza cambiamenti di variabile non ho alcun problema, ma vorrei sapere se c'è un qualche cambiamento di variabile intelligente (visto che l'esercizio si trova nella sezione "cambiamenti di variabili").
Il mio tentativo è stato riscrivere il dominio come:
$0 $x^2
e poi porre:
$u=y+2x$
$v=x$

e ottengo:

$0 $v^2 e da qui non riesco più andare avanti perchè non so come trovare i limiti di integrazione per v


Oppure pongo:
$u=y+2x$
$v=y-x^2$

e ottengo:

$0 $0
ma in questo caso il cambio di variabile non è invertibile, quindi non posso usarlo.

Secondo voi c'è un cambiamento di variabile più intelligente?

[enr87]

perchè il secondo cambio non è invertibile?

[lucagalbu]

Perchè avrei $x^2+2x-u+v=0$ e quindi avrei due soluzioni per la x. Per cui per ogni u e v ho due valori di x e quindi x(u,v) non è una funzione.

[enr87]

ok, ma devi anche guardare l'insieme in cui hai definito (u,v): se lì dentro il cambio non è invertibile, allora non puoi usarlo

[lucagalbu]

il dominio di (u,v) è il quadrato con l'angolo in basso a sinistra nell'origine e lati di lunghezza 1. Lì il cambio non è invertibile e quindi non posso usarlo. Ma se delle due soluzioni per la x tenessi solo quella che ha il segno più davanti alla radice?

[enr87]

se vuoi che ti dica la mia, non ci perderei neanche tempo col cambio di variabile, sfrutterei i domini semplici e finità lì (basta rompere il dominio lungo l'asse y). se non è iniettiva nemmeno lì non saprei che sostituzione consigliarti..