Integrale doppio e cambiamento di variabili
Buongiorno a tutti 
Volevo proporvi un esercizio che mi sta dando del filo da torcere:
$\int int e^-(sqrt(x^2+y^2)) y/(x^2+y^2) dx du$
Integrale su $D={(x,y)\epsilon \RR^2: y>=0, (x-1)^2+y^2<=1/4}$
Data la presenza dei quadrati pensavo di utilizzare le coordinate polari, ma se utilizzo $x=\rho cos\theta, y=\rho sin \theta$ non riesco a risolvere la seconda disequazione di D, se invece pongo $x-1=\rho cos \theta$ è l'integrale a risultare complicato.
Ho provato anche cambiamenti di variabili diversi, con $x^2+y^2$ come variabile, ma non mi convincono. Voi cosa fareste?
Volevo proporvi un esercizio che mi sta dando del filo da torcere:
$\int int e^-(sqrt(x^2+y^2)) y/(x^2+y^2) dx du$
Integrale su $D={(x,y)\epsilon \RR^2: y>=0, (x-1)^2+y^2<=1/4}$
Data la presenza dei quadrati pensavo di utilizzare le coordinate polari, ma se utilizzo $x=\rho cos\theta, y=\rho sin \theta$ non riesco a risolvere la seconda disequazione di D, se invece pongo $x-1=\rho cos \theta$ è l'integrale a risultare complicato.
Ho provato anche cambiamenti di variabili diversi, con $x^2+y^2$ come variabile, ma non mi convincono. Voi cosa fareste?
Risposte
La struttura della funzione integranda ti sta gridando di passare in coordinate polari. Qualsiasi trasformazione tu applichi distruggerà questa simmetria; quindi, meglio passare in coordinate polari e cercare di descrivere il dominio di integrazione mediante un ragionamento grafico. Ad esempio, con un poco di trigonometria mi pare di capire che la condizione su \(\theta\) sia
\[
0\le \theta \le \frac{\pi}{3}.\]
Resta da stabilire come varia \(\rho\) in funzione di \(\theta\).
\[
0\le \theta \le \frac{\pi}{3}.\]
Resta da stabilire come varia \(\rho\) in funzione di \(\theta\).
"dissonance":
La struttura della funzione integranda ti sta gridando di passare in coordinate polari. Qualsiasi trasformazione tu applichi distruggerà questa simmetria; quindi, meglio passare in coordinate polari e cercare di descrivere il dominio di integrazione mediante un ragionamento grafico. Ad esempio, con un poco di trigonometria mi pare di capire che la condizione su \( \theta \) sia
\[ 0\le \theta \le \frac{\pi}{3}. \]
Resta da stabilire come varia \( \rho \) in funzione di \( \theta \).
uhm... mai affrontato un esercizio con ragionamento grafico, non saprei proprio che fare.
In coordinate polari D diventa
$\rho sin\theta>=0, \rho^2+1-2\rho cos\theta<=1/4$
la prima disequazione porta a $0<=\theta<=\pi$, la seconda è un'equazione che non so affrontare... come sei arrivato a $0<=\theta<=\pi/3$?
Ci sono arrivato disegnando la semiretta di centro l'origine e tangente la circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1/2$. Siccome l'angolo formato da questa semiretta col corrispondente raggio della sfera è retto, l'angolo \(\theta_{\mathrm{max}}\) che la semiretta forma con l'asse delle \(x\) deve verificare
\[
\cos \theta_{\mathrm{max}} = \frac{1/2}{1}, \]
quindi \(\theta_{\mathrm{max}}=\pi/3\).
P.S.: Vedo dal tuo ultimo post che hai una disequazione di secondo grado in \(\rho\). Tieni \(\theta\) fissato e risolvila. Otterrai una relazione del tipo
\[
f_1(\theta)\le \rho\le f_2(\theta), \]
che, insieme all'intervallo \(\theta\in [0, \pi/3]\), descrive il tuo dominio nelle coordinate \(\rho,\theta\).
\[
\cos \theta_{\mathrm{max}} = \frac{1/2}{1}, \]
quindi \(\theta_{\mathrm{max}}=\pi/3\).
P.S.: Vedo dal tuo ultimo post che hai una disequazione di secondo grado in \(\rho\). Tieni \(\theta\) fissato e risolvila. Otterrai una relazione del tipo
\[
f_1(\theta)\le \rho\le f_2(\theta), \]
che, insieme all'intervallo \(\theta\in [0, \pi/3]\), descrive il tuo dominio nelle coordinate \(\rho,\theta\).
No, non sono convinta... A me risulta $0<= \theta<=\pi$ e a te $0<=\theta<=\pi/3$ e naturalmente non possono essere entrambi giusti, poi la seconda equazione ha come risultato $(2cos\theta-sqrt(4cos^2\theta-3))/2<=\theta<=(2cos\theta+sqrt(4cos^2\theta-3))/2$, ma mi sembra un risultato assurdo... Non sono convinta che sia giusto
La condizione su \(\theta\) che hai ricavato è solamente la traduzione in coordinate polari di \(y\ge 0\). Oltre a questo bisogna anche imporre che la semiretta uscente dall'origine e che forma un angolo \(\theta\) con l'asse delle \(x\) intersechi il dominio di integrazione, altrimenti giriamo a vuoto. Sei d'accordo?
Ora il dominio di integrazione è la parte interna della semicirconferenza superiore di centro \((1,0)\) e raggio \(\frac{1}{2}\). (Segui il ragionamento con un disegno). Quali semirette la intersecano? La prima è quella con \(\theta=0\), l'ultima (\(\theta=\theta_{\mathrm{max}}\)) è tangente alla circonferenza. Disegna questa circonferenza e disegna il raggio che la tocca nel punto di tangenza. Si forma un triangolo rettangolo (il raggio di una circonferenza forma un angolo retto con la tangente corrispondente), e un po' di trigonometria ti permette di trovare il valore di \(\theta_{\mathrm{max}}\).
Sull'altra condizione c'è effettivamente qualcosa che non quadra: per \(\theta=0\) ottieni il risultato sperato \(\frac{1}{2}\le \rho\le \frac{3}{2}\), ma le radici cessano di esistere per \(\theta =\pi/6\), mentre secondo il calcolo di sopra mi aspettavo cessassero di esistere per \(\theta=\pi/3\). Ci deve essere un piccolo errore da qualche parte; spero comunque di avere chiarito il concetto
Ora il dominio di integrazione è la parte interna della semicirconferenza superiore di centro \((1,0)\) e raggio \(\frac{1}{2}\). (Segui il ragionamento con un disegno). Quali semirette la intersecano? La prima è quella con \(\theta=0\), l'ultima (\(\theta=\theta_{\mathrm{max}}\)) è tangente alla circonferenza. Disegna questa circonferenza e disegna il raggio che la tocca nel punto di tangenza. Si forma un triangolo rettangolo (il raggio di una circonferenza forma un angolo retto con la tangente corrispondente), e un po' di trigonometria ti permette di trovare il valore di \(\theta_{\mathrm{max}}\).
Sull'altra condizione c'è effettivamente qualcosa che non quadra: per \(\theta=0\) ottieni il risultato sperato \(\frac{1}{2}\le \rho\le \frac{3}{2}\), ma le radici cessano di esistere per \(\theta =\pi/6\), mentre secondo il calcolo di sopra mi aspettavo cessassero di esistere per \(\theta=\pi/3\). Ci deve essere un piccolo errore da qualche parte; spero comunque di avere chiarito il concetto
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