Integrale doppio: dubbi

[~Mihaela~13]

Ciao a tutti... Potreste darmi una mano con l'impostazione della risoluzione?
Vorrei sapere se le mie osservazioni sono corrette...

L'esercizio è il seguente:

Calcolare:
$ int int_(D) xy dx dxy $ ,
dove $ D = { (x,y) in RR^2 : 0 <= y <= x , y<= 3/4 - x^2} $

Allora, l'integrale doppio è esteso al dominio $D$, che è rappresentato dall'area del I quadrante, compresa tra la bisettrice $y=x$ e la parabola $y=-x^2 + 3/4$.
Giusto?
(L'intersezione tra retta e parabola avviene nel punto $P(1/2,1/2)$)

Dunque, il dominio non è normale rispetto all'asse $x$,.. andrebbe spezzato, giusto?

Oppure, posso considerarlo normale rispetto all'asse $y$??
E cioè, dicendo che per $y$ che varia tra $0$ e $1/2$,
$x$ varia tra $y$ e $ sqrt ((-y +3/4))$??

[~Mihaela~13]

Qui il grafico:

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[OT]E' la prima volta che inserisco un'immagine... Mi dispiace che sia di dimensioni mostruose [/OT]

[Zkeggia]

Hai due condizioni su $y$ (che deve anche essere positivo)
1) $y<= x$
2)$y<=3/4 - x^2$

Dovrai prendere la più piccola di queste due, cioè $y<= min (x,3/4-x^2)$

quindi di fatto dovrai dire:
$x< 3/4 -x^2 -> x^2+x - 3/4 <0 -> -3/2 a Questo punto ci ricordiamo che $3/4 - x^2 >=0-> x<= sqrt(3)/2 $ e $x > -sqrt(3)/2$

Ok quindi hai che x può variare tra $-sqrt(3)/2$ e $sqrt(3)/2$
In questo intervallo si ha che se $x< 1/2$ allora y varierà tra 0 e x, se x è maggiore di $1/2$ y varierà tra $0$ e $3/4 -x^2$

Quindi in definitiva dovresti avere
$int_D xydxdy = int_0^(1/2) int_0^x xy dy dx + int_(1/2)^(3/2) int_0^(3/4-x^2) xydxdy$
Ho scartato la parte con $x<0$ perché non ha senso la condizione $0
Spero di esserti stato di aiuto.

[~Mihaela~13]

Va bene... Tu l'hai spezzato, giusto?
Ma quella seconda parte:

"~Mihaela~":

Dunque, il dominio non è normale rispetto all'asse $x$,.. andrebbe spezzato, giusto?

Oppure, posso considerarlo normale rispetto all'asse $y$??
E cioè, dicendo che per $y$ che varia tra $0$ e $1/2$,
$x$ varia tra $y$ e $ sqrt ((-y +3/4))$??

Mi interessa sapere se è giusto scrivere l'integrale così:

$ int_(0)^(1/2) dy int_(y)^(sqrt((-y+3/4))) x y dx dy $

[Zkeggia]

Bella domanda. Certo così la vita si complica un sacco, però credo sia giusto come ragionamento, $x$ varia proprio tra quei due valore di $y$. Un dubbio che mi viene in mente però è che se $x>1/2$, allora x varia tra $0$ e $sqrt(3/4 - y)$, se lo fai variare tra $y$ e $sqrt(3/4-y)$ ottieni un'altra area...

[~Mihaela~13]

"Zkeggia": Un dubbio che mi viene in mente però è che se $x>1/2$, allora x varia tra $0$ e $sqrt(3/4 - y)$, se lo fai variare tra $y$ e $sqrt(3/4-y)$ ottieni un'altra area...

Mmm... per $x> 1/2$... $x$ varia da $1/2$ a $sqrt((3/4))$

O no?

[Zkeggia]

sì direi di sì

[~Mihaela~13]

Mmm... Non lo so... Non riesco a convincermi di nulla...

Però ho trovato questo:
http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... _doppi.pdf

In pagina 3 ce n'è uno analogo... E pare che il ragionamento sia simile al mio...

In ogni caso ti ringrazio! Sei l'unica persona che ha cercato di aiutarmi

[Zkeggia]

Prego, ottima dispensa, chiarificante, quindi il tuo ragionamento è esatto e anche io ho imparato qualcosa.

Non è che puoi postare queste dispense nel topic "Dispense ed esercizi in rete"? sono sicuro che serviranno ad altri utenti del forum (e pure a me )

[~Mihaela~13]

Sì, hai ragione, potrebbero essere utili
Alla prossima

[~Mihaela~13]

Comunque,.. Se poi qualcuno desse un'occhiata qui e si accorgesse che ci sono cose che non quadrano,...
Spero tanto che ce lo farebbe sapere!
Io continuo ad avere qualche dubbio.

Ri-posto l'immagine contenente il grafico, che questa volta individua l'area $D$ a cui è esteso l'integrale.



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[~Mihaela~13]

Per favore, qualcuno me dica se è fatto bene

[wolf90]

Ho controllato, e concordo con tutti e due i procedimenti, non ho svolto i calcoli, ma l'impostazione degli integrali è giusta

[~Mihaela~13]

Grazie mille!!!!!!!!!!!