Integrale doppio di una ellisse
Salve a tutti,
avrei un problema sulla risoluzione generale dell'integrale doppio definito di una ellissi del tipo:
$\int_{x_1}^{x_2} int_{y_1}^{y_2} (x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) dxdy$
Dell'ellissi so che è ruotata rispetto al piano cartesiano xy di $\alpha$ gradi rispetto all'asse delle ascisse.
Il dominio della funzione è rettangolare del tipo: $x_2<= x <=x_1$ e $y_2<= y <=y_1$.
Con $\alpha=0$ l'ho risolto facendo un cambio di coordinate da cartesiane a polari piane ma con $\alpha!=0$ non ci sono riuscito. Ho provato a fare un cambio di variabili ruotando il piano cartesiano con la seguente formulazione:
$\{(u=x*cos(\alpha)-y*sin(\alpha)),(v=x*sin(\alpha)+y*cos(\alpha)):}$
ma l'integrale si complica e non riesco a risolverlo.
Qualcuno ha qualche idea su come riuscire ad impostare la risoluzione?
Grazie.
avrei un problema sulla risoluzione generale dell'integrale doppio definito di una ellissi del tipo:
$\int_{x_1}^{x_2} int_{y_1}^{y_2} (x^2)/(a^2) +(y^2)/(b^2) dxdy$
Dell'ellissi so che è ruotata rispetto al piano cartesiano xy di $\alpha$ gradi rispetto all'asse delle ascisse.
Il dominio della funzione è rettangolare del tipo: $x_2<= x <=x_1$ e $y_2<= y <=y_1$.
Con $\alpha=0$ l'ho risolto facendo un cambio di coordinate da cartesiane a polari piane ma con $\alpha!=0$ non ci sono riuscito. Ho provato a fare un cambio di variabili ruotando il piano cartesiano con la seguente formulazione:
$\{(u=x*cos(\alpha)-y*sin(\alpha)),(v=x*sin(\alpha)+y*cos(\alpha)):}$
ma l'integrale si complica e non riesco a risolverlo.
Qualcuno ha qualche idea su come riuscire ad impostare la risoluzione?
Grazie.
Risposte
Meno chiacchiere: metti la consegna originale! 
Ciao, scusa ma non ho capito cosa tu intenda per "consegna originale". Non è un esercizio che ho trovato sui libri o un compito lasciato in un università ma è un problema di risoluzoione che mi sto ponendo e che vorrei risolvere.
La mia domanda è semplicemente:
"Come risolvere l'integrale doppio definito all'interno di un dominio rettangolare di una ellisse generica, ruotata di un angolo alfa rispetto all'asse delle ascisse?"
Qual'è il metodo che voi usereste?
La mia domanda è semplicemente:
"Come risolvere l'integrale doppio definito all'interno di un dominio rettangolare di una ellisse generica, ruotata di un angolo alfa rispetto all'asse delle ascisse?"
Qual'è il metodo che voi usereste?
A parte il fatto che $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ non è un'ellissi e nemmeno un'ellisse, ma un polinomio bivariato di secondo grado, il problema è del tutto banale, basta applicare Fubini-Tonelli:
\(\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\,dy\, dx = \frac{1}{3}(y_1-y_0)(x_1-x_0)\left(\frac{x_1^2+x_1 x_0+x_0^2}{a^2}+\frac{y_1^2+y_1 y_0+y_0^2}{b^2}\right). \)
Diversa è la storia se hai necessità di integrare una funzione al di sopra di un dominio che è un'ellisse. In tal caso, la casa consiglia di ricorrere ad un adeguato cambiamento di variabili (affinità) in modo da ricondursi ad un problema di integrazione al di sopra di un dominio circolare, e ivi procedere per coordinate polari.
\(\displaystyle \int_{x_0}^{x_1}\int_{y_0}^{y_1}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right)\,dy\, dx = \frac{1}{3}(y_1-y_0)(x_1-x_0)\left(\frac{x_1^2+x_1 x_0+x_0^2}{a^2}+\frac{y_1^2+y_1 y_0+y_0^2}{b^2}\right). \)
Diversa è la storia se hai necessità di integrare una funzione al di sopra di un dominio che è un'ellisse. In tal caso, la casa consiglia di ricorrere ad un adeguato cambiamento di variabili (affinità) in modo da ricondursi ad un problema di integrazione al di sopra di un dominio circolare, e ivi procedere per coordinate polari.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo