[Integrale Doppio] Coordinate polari ed ellisse
Ho questo intgrale:
∬ (x-y/2)dx dy
In questo dominio D:A\B
A:{(x,y)ⲉR² | x>=0, y>=0, 4x²+9y²<=36}
B:{(x,y)ⲉR² | x²+y²<1}
Io ho svolto questo integrale come 2 integrali doppi separati prima rispetto ad A poi B e fatto la differenza tra i due risultati... il risultato che ho ottenuto è 23/6 volevo sapere se a voi esce anche questo risultato oppure ho sbagliato qualcosa.
Ho utilizzato la trasformazione in coordinate polari e mi sono trasformato i due domini...e mi sono usciti i seguenti domini:
B':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro della circonferenza
A':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro dell'ellisse
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie
∬ (x-y/2)dx dy
In questo dominio D:A\B
A:{(x,y)ⲉR² | x>=0, y>=0, 4x²+9y²<=36}
B:{(x,y)ⲉR² | x²+y²<1}
Io ho svolto questo integrale come 2 integrali doppi separati prima rispetto ad A poi B e fatto la differenza tra i due risultati... il risultato che ho ottenuto è 23/6 volevo sapere se a voi esce anche questo risultato oppure ho sbagliato qualcosa.
Ho utilizzato la trasformazione in coordinate polari e mi sono trasformato i due domini...e mi sono usciti i seguenti domini:
B':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro della circonferenza
A':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro dell'ellisse
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie
Risposte
Provare ad usare Green ?
$\int (Pdx+Qdy)=\int\int((\partialQ)/(\partialx)-(\partialP)/(\partialy))$
$\int\int (x-y/2) dx dy = \int (-yxdx-xy/2dy)$
dove $x= 3 cos\theta$ e $y = 2sin\theta$
$dx=-3sin\thetad\theta$
$dy=2cos\thetad\theta$
$\int(18sin^2\thetacos\theta-6cos^2\thetasin\theta)d\theta = 6 sin^3\theta+2cos^3\theta$
valutato nell'intervallo $[0,\pi/2]$ fa 4
gli altri due integrali dei segmenti sovrapposti agli assi valutano zero.
$\int (Pdx+Qdy)=\int\int((\partialQ)/(\partialx)-(\partialP)/(\partialy))$
$\int\int (x-y/2) dx dy = \int (-yxdx-xy/2dy)$
dove $x= 3 cos\theta$ e $y = 2sin\theta$
$dx=-3sin\thetad\theta$
$dy=2cos\thetad\theta$
$\int(18sin^2\thetacos\theta-6cos^2\thetasin\theta)d\theta = 6 sin^3\theta+2cos^3\theta$
valutato nell'intervallo $[0,\pi/2]$ fa 4
gli altri due integrali dei segmenti sovrapposti agli assi valutano zero.
cos'è green?
Comunque non ho capito come lo hai svolto....
Dimmi dove sbaglio per favore,io ho fatto così:
Integrale sul dominio B:
la trasformazione delle coordinate sono:
x=ρ*cos(θ)
y=ρ*sen(θ)
f(ρ,θ)=ρ*cos(θ)-[ρ*sen(θ)/2]
jacobiano=ρ
Dominio di A trasformato in coordinate polari
B':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro della circonferenza
∬f(ρ,θ)*ρ*dρ*dθ = ... = 1/6
-------------------------------------------------
Integrale sul dominio A:
coordinate polari:
x=3*ρ*cos(θ)
y=2*ρ*sen(θ)
f(ρ,θ)=3*ρ*cos(θ)-[2*ρ*sen(θ)/2]
jacobiano=a*b*ρ=6ρ
A':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro dell'ellisse
∬f(ρ,θ)*6ρ*dρ*dθ = ... = 4
-------------------------------------
Integrale di A\B
∬f(x,y)dxdy= 4-(1/6) = 23/6
dove sbaglio? grazie
Comunque non ho capito come lo hai svolto....
Dimmi dove sbaglio per favore,io ho fatto così:
Integrale sul dominio B:
la trasformazione delle coordinate sono:
x=ρ*cos(θ)
y=ρ*sen(θ)
f(ρ,θ)=ρ*cos(θ)-[ρ*sen(θ)/2]
jacobiano=ρ
Dominio di A trasformato in coordinate polari
B':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro della circonferenza
∬f(ρ,θ)*ρ*dρ*dθ = ... = 1/6
-------------------------------------------------
Integrale sul dominio A:
coordinate polari:
x=3*ρ*cos(θ)
y=2*ρ*sen(θ)
f(ρ,θ)=3*ρ*cos(θ)-[2*ρ*sen(θ)/2]
jacobiano=a*b*ρ=6ρ
A':{(ρ,θ)ϵR², 0<=ρ<=1, 0<=θ<=π/2} con polo al centro dell'ellisse
∬f(ρ,θ)*6ρ*dρ*dθ = ... = 4
-------------------------------------
Integrale di A\B
∬f(x,y)dxdy= 4-(1/6) = 23/6
dove sbaglio? grazie
rifacendolo mi sono accorto di un errore di calcolo nel dominio dell'ellisse, ed ottengo come risultato 4 nel dominio A.
Quindi il risultato finale è 23/6.... sbaglio qualcosa?
Quindi il risultato finale è 23/6.... sbaglio qualcosa?
Il risultato di 23/6 è esatto e pure il tuo procedimento. Con Green passi da un integrale doppio ( di superficie ) ad uno di linea, ma non sempre questo semplifica i calcoli.
"ciromario":
Il risultato di 23/6 è esatto e pure il tuo procedimento. Con Green passi da un integrale doppio ( di superficie ) ad uno di linea, ma non sempre questo semplifica i calcoli.
Ok Grazie !
Il mio dubbio era quello di sbagliare qualcosa nel procedimento perchè pensavo che il dominio dell'ellisse fosse sbagliato con l'estremo maggiore di ρ pari ad 1 .. visto che A e B erano rispettivamente 2 e 3.. e che se la circonferenza fosse stata anzichè strettamente minore di 1 o minore uguale ad 1 non mi cambiava nulla nel procedimento e pensavo di sbagliare qualcosa... Mentre questo metodo green non lo conosco... a lezione finora non lo hanno mai utilizzato! Thanks!
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