Integrale doppio coordinate polari
Salve ragazzi!
Sto avendo dei problemi nella risoluzione di questo integrale doppio:
$\int int y/((4+x^2+y^2)(x^2+y^2)) dxdy$
\( \displaystyle {D}={\left\lbrace{4}\le{x^2+y^2}\le{4x}\right\rbrace} \)
Ho effettuato la sostituzione in coordinate polari per trovarmi le limitazioni di $\rho$ e $\vartheta$ . Sostituendo nel dominio, mi trovo: 2 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos $\vartheta$ .
Il problema è la limitazione di $\vartheta$ . Dovrei limitarlo tra 0 e 2$\pi$ ? Perchè?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Sto avendo dei problemi nella risoluzione di questo integrale doppio:
$\int int y/((4+x^2+y^2)(x^2+y^2)) dxdy$
\( \displaystyle {D}={\left\lbrace{4}\le{x^2+y^2}\le{4x}\right\rbrace} \)
Ho effettuato la sostituzione in coordinate polari per trovarmi le limitazioni di $\rho$ e $\vartheta$ . Sostituendo nel dominio, mi trovo: 2 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos $\vartheta$ .
Il problema è la limitazione di $\vartheta$ . Dovrei limitarlo tra 0 e 2$\pi$ ? Perchè?
Vi ringrazio per l'aiuto!
Risposte
Ciao! Innanzi tutto ti sei fatto un piccolo disegno per capire cosa stai integrando?
La parte di piano da te cercata non è una circonferenza!
(non mi andava di disegnare ti lascio wolfram che te lo dice al posto mio
)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4+%3C%3Dx^2+%2B+y^2+%3C%3D+4x+
Come puoi ben vedere puoi si integrare in polari ma con le dovute accortezze!
io farei variare $rho$ tra 4 e $4 costheta$ (se non sbaglio) ma poi teta (come puoi vedere dalla figura) ti varia tra $-pi/3$ e $pi/3$.
Credo
La parte di piano da te cercata non è una circonferenza!
(non mi andava di disegnare ti lascio wolfram che te lo dice al posto mio
)http://www.wolframalpha.com/input/?i=4+%3C%3Dx^2+%2B+y^2+%3C%3D+4x+
Come puoi ben vedere puoi si integrare in polari ma con le dovute accortezze!
io farei variare $rho$ tra 4 e $4 costheta$ (se non sbaglio) ma poi teta (come puoi vedere dalla figura) ti varia tra $-pi/3$ e $pi/3$.
Credo
Si, ho fatto il disegno. Come mai dici che $\rho$ deve essere limitato tra 4 e 4cos$\theta$ ?
Io ho sostituito $\rho$ e $\theta$ nel dominio e mi viene così:
$\rho$^2-4$\rho$cos$\theta$ $<=$ 0
$\rho$^2-4 $>=$ 0
quindi
0 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos$\theta$
$\rho$ $<=$ -2 e $\rho$ $>=$ 2
essendo per definizione $\rho$ positivo,unendole mi trovo
2 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos$\theta$
Per quanto riguarda $\theta$ credi sia sbagliato calcolarlo tra 0 e π/3 e poi tra −π/3 e 2π ? Quindi come unione di due domini in pratica. Ho l'esame a breve, e queste coordinate polari mi confondono e non poco. Ti ringrazio per l'aiuto.
Io ho sostituito $\rho$ e $\theta$ nel dominio e mi viene così:
$\rho$^2-4$\rho$cos$\theta$ $<=$ 0
$\rho$^2-4 $>=$ 0
quindi
0 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos$\theta$
$\rho$ $<=$ -2 e $\rho$ $>=$ 2
essendo per definizione $\rho$ positivo,unendole mi trovo
2 $<=$ $\rho$ $<=$ 4cos$\theta$
Per quanto riguarda $\theta$ credi sia sbagliato calcolarlo tra 0 e π/3 e poi tra −π/3 e 2π ? Quindi come unione di due domini in pratica. Ho l'esame a breve, e queste coordinate polari mi confondono e non poco. Ti ringrazio per l'aiuto.
Si, ovviamente è tra 2 e 4 cos$theta$. Ho sbagliato a digitare.
Quello che cercavo di dirti è che questi estremi sono palesi dalla figura. $rho$ è il raggio, e, stando nell'origine, devi farlo variare tra la prima e la seconda circonferenza. La prima circonferenza ha raggio 2 quindi il primo estremo è 2, senza ombra di dubbio. La seconda invece devi parametrizzarla perchè non è un'espressione elementare...
Per $theta$ se fai tra $-pi/3$ e $2pi$ fai un giro di troppo. Al massimo tra $-pi/3$ e 0, ma a sto punto tanto vale, fare come ti ho detto sopra
Quello che cercavo di dirti è che questi estremi sono palesi dalla figura. $rho$ è il raggio, e, stando nell'origine, devi farlo variare tra la prima e la seconda circonferenza. La prima circonferenza ha raggio 2 quindi il primo estremo è 2, senza ombra di dubbio. La seconda invece devi parametrizzarla perchè non è un'espressione elementare...
Per $theta$ se fai tra $-pi/3$ e $2pi$ fai un giro di troppo. Al massimo tra $-pi/3$ e 0, ma a sto punto tanto vale, fare come ti ho detto sopra
Capito.... ti ringrazio per la disponibilità!
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