Integrale doppio coordinate polari
ho quest'integrale da risolvere ma rimangono impantanato nelle risoluzione del dominio
$int int_D (xsqrt(x^2+y^2))/(x+y+sqrt(x^2+y^2))dxdy$
dove $D={(x,y) in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=4, |x|<=y<=|x|+1}$
sfrutto le coordinate polari ottenendo così: $int int_(g^(-1)(D)) (rho^2cos\theta)/(cos\theta+sin\theta+1)d\rhod\theta$
adesso mi trovo il dominio in coordinate polari:
$1<=x^2+y^2<=4$ diventa $1<=rho<=2$
mentre
$|x|<=y<=|x|+1$ diventa $|rhocos\theta|<=rhosin\theta<=|rhocos\theta|+1$
adesso devo risolvere l'ultima disequazione goniometrica
mi faccio il sistema:
${(|rhocos\theta|<=rhosin\theta),(|rhocos\theta|+1>=rhosin\theta):}$
il sistema diventa così
${(-rhosin\theta<=rhocos\theta<=rhosin\theta),(1-rhosin\theta<=rhocos\theta<=rhosin\theta-1):}$
adesso qui ho un pò di difficoltà.chi mi dà una mano?
$int int_D (xsqrt(x^2+y^2))/(x+y+sqrt(x^2+y^2))dxdy$
dove $D={(x,y) in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=4, |x|<=y<=|x|+1}$
sfrutto le coordinate polari ottenendo così: $int int_(g^(-1)(D)) (rho^2cos\theta)/(cos\theta+sin\theta+1)d\rhod\theta$
adesso mi trovo il dominio in coordinate polari:
$1<=x^2+y^2<=4$ diventa $1<=rho<=2$
mentre
$|x|<=y<=|x|+1$ diventa $|rhocos\theta|<=rhosin\theta<=|rhocos\theta|+1$
adesso devo risolvere l'ultima disequazione goniometrica
mi faccio il sistema:
${(|rhocos\theta|<=rhosin\theta),(|rhocos\theta|+1>=rhosin\theta):}$
il sistema diventa così
${(-rhosin\theta<=rhocos\theta<=rhosin\theta),(1-rhosin\theta<=rhocos\theta<=rhosin\theta-1):}$
adesso qui ho un pò di difficoltà.chi mi dà una mano?
Risposte
Nella prima disequazione puoi tranquillamente semplificare [tex]\rho[/tex] in quanto per ipotesi è supposto maggiore di 0. Dopo puoi risolvere le due disequazioni
[tex]\cos\theta\leq\sin\theta[/tex]
[tex]\cos\theta\geq-\sin\theta[/tex]
Non sono difficili, puoi procedere in maniera analitica o grafica. Con un procedimento simile risolvi la seconda disequazione.
Ad ogni modo l'integrando in [tex]\theta[/tex] non sembra così banale. Prova a vedere se esce qualcosa di integrabile.
[tex]\cos\theta\leq\sin\theta[/tex]
[tex]\cos\theta\geq-\sin\theta[/tex]
Non sono difficili, puoi procedere in maniera analitica o grafica. Con un procedimento simile risolvi la seconda disequazione.
Ad ogni modo l'integrando in [tex]\theta[/tex] non sembra così banale. Prova a vedere se esce qualcosa di integrabile.
Considera il dominio in termini di [tex]\theta[/tex] e poi dividi per il coseno sulla prima e similmente sulla seconda...
[tex]|\rho \cos \theta|\leq \rho \sin \theta[/tex]
[tex]\displaystyle 1 \leq \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}[/tex]
con [tex]\cos \theta \leq 0[/tex] ottieni:
[tex]1 \leq \tan \theta[/tex]
analogamente nell'altro caso.
[tex]|\rho \cos \theta|\leq \rho \sin \theta[/tex]
[tex]\displaystyle 1 \leq \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|}[/tex]
con [tex]\cos \theta \leq 0[/tex] ottieni:
[tex]1 \leq \tan \theta[/tex]
analogamente nell'altro caso.
Il disegno e' molto originale, non c'e' che dire.
Se non sbaglio, Il tuo dominio dovrebbe essere formato da due Domini minori simmetrici rispetto all'asse delle Y.
$D_1={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , -x<=y<=1-x}$
$D_2={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , x<=y<=x+1}$
$D=D_1+D_2$
Ho provato a fare un po' di calcoli, Ma alla fine cio' che davvero vincola all'utilizzo delle coordinate polari e' la funzione integranda. Se si prova a risolvere per riduzione, non se ne esce piu'.
Se si utilizzano le coordinate, ad esempio:
${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta):}$
la funzione integranda diviene:
$(rho^2costheta)/(1+costheta+sintheta)
Che reputo non impossibile da integrare.
Si potrebbe procedere considerando l'integrale tra $thetain[pi/4,(3pi)/4]$ e $rhoin[1,2]$, calcolarlo, e dal risultato sottrarre poi quello dell'area che non ci interessa. (il piccolo spicchio in alto, anch'esso simmetrico rispetto all'asse delle Y).
Il problema rimane, o almeno fin dove mi sono fermato con i calcoli
, nel considerare in coordinate polari le limitazioni di quello spicchio non interessante.
Un'ulteriore tentativo si potrebbe azzardare con le formule di Gauss-Green, ma bisogna sempre vedere come si comporta la funzione integranda una volta parametrizzata a dovere.
Se non sbaglio, Il tuo dominio dovrebbe essere formato da due Domini minori simmetrici rispetto all'asse delle Y.
$D_1={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , -x<=y<=1-x}$
$D_2={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , x<=y<=x+1}$
$D=D_1+D_2$
Ho provato a fare un po' di calcoli, Ma alla fine cio' che davvero vincola all'utilizzo delle coordinate polari e' la funzione integranda. Se si prova a risolvere per riduzione, non se ne esce piu'.
Se si utilizzano le coordinate, ad esempio:
${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta):}$
la funzione integranda diviene:
$(rho^2costheta)/(1+costheta+sintheta)
Che reputo non impossibile da integrare.
Si potrebbe procedere considerando l'integrale tra $thetain[pi/4,(3pi)/4]$ e $rhoin[1,2]$, calcolarlo, e dal risultato sottrarre poi quello dell'area che non ci interessa. (il piccolo spicchio in alto, anch'esso simmetrico rispetto all'asse delle Y).
Il problema rimane, o almeno fin dove mi sono fermato con i calcoli
, nel considerare in coordinate polari le limitazioni di quello spicchio non interessante.Un'ulteriore tentativo si potrebbe azzardare con le formule di Gauss-Green, ma bisogna sempre vedere come si comporta la funzione integranda una volta parametrizzata a dovere.
"PandaZero":
Il disegno e' molto originale, non c'e' che dire.
Se non sbaglio, Il tuo dominio dovrebbe essere formato da due Domini minori simmetrici rispetto all'asse delle Y.
$D_1={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , -x<=y<=1-x}$
$D_2={(x,y)inRR^2: 1≤x2+y2≤4 , x<=y<=x+1}$
$D=D_1+D_2$
Ho provato a fare un po' di calcoli, Ma alla fine cio' che davvero vincola all'utilizzo delle coordinate polari e' la funzione integranda. Se si prova a risolvere per riduzione, non se ne esce piu'.
Se si utilizzano le coordinate, ad esempio:
${(x=rhocostheta),(y=rhosintheta):}$
la funzione integranda diviene:
$(rho^2costheta)/(1+costheta+sintheta)
Che reputo non impossibile da integrare.
Si potrebbe procedere considerando l'integrale tra $thetain[pi/4,(3pi)/4]$ e $rhoin[1,2]$, calcolarlo, e dal risultato sottrarre poi quello dell'area che non ci interessa. (il piccolo spicchio in alto, anch'esso simmetrico rispetto all'asse delle Y).
Il problema rimane, o almeno fin dove mi sono fermato con i calcoli
Un'ulteriore tentativo si potrebbe azzardare con le formule di Gauss-Green, ma bisogna sempre vedere come si comporta la funzione integranda una volta parametrizzata a dovere.
In $D_1$ e $D_2$ ci sono un po' di punti interrogativi che rendono difficile la lettura ..
Vedo che sei piuttosto in gamba con questo argomento, mica daresti un'occhiata all'integrale triplo del mio post che c'è in questa stessa sezione? (la cosa è po' strana ...)
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