Integrale Doppio Coordinate Polari
Buona sera a tutti, ho un dubbio con il seguente esercizio di un testo d'esame,
che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio in coordinate polari:
$ int int_(D) y e^{frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}} dx dy $ con $ D $ delimitato da $ x^2+y^2-2x=0 $, $ y = 0 $ e $ x^2+y^2=1 $ contenuto nel IV quadrante.
Quindi passando a coordinate polari $ { ( x = rho cos vartheta ),( y = rho sin vartheta ):} $ con polo nell'origine,
quindi mi scrivo il nuovo dominio $ Gamma { ( 0 <= rho <= 2cosvartheta ),( 3/2pi <= vartheta <= 2pi ):} $
Ed ottengo $ int int_(Gamma) rhosinvartheta e^{frac{rhocosvartheta}{sqrt{rho^2cos^2vartheta + rho^2sin^2vartheta}}} rhodrhodvartheta $ e quindi $ int_(3/2pi)^(2pi) int_(0)^(2cosvartheta) rho^2sinvartheta e^cosvartheta drhodvartheta $
Secondo voi è giusto? Grazie in anticipo a chi mi risponderà!
che mi chiede di calcolare il seguente integrale doppio in coordinate polari:
$ int int_(D) y e^{frac{x}{sqrt{x^2+y^2}}} dx dy $ con $ D $ delimitato da $ x^2+y^2-2x=0 $, $ y = 0 $ e $ x^2+y^2=1 $ contenuto nel IV quadrante.
Quindi passando a coordinate polari $ { ( x = rho cos vartheta ),( y = rho sin vartheta ):} $ con polo nell'origine,
quindi mi scrivo il nuovo dominio $ Gamma { ( 0 <= rho <= 2cosvartheta ),( 3/2pi <= vartheta <= 2pi ):} $
Ed ottengo $ int int_(Gamma) rhosinvartheta e^{frac{rhocosvartheta}{sqrt{rho^2cos^2vartheta + rho^2sin^2vartheta}}} rhodrhodvartheta $ e quindi $ int_(3/2pi)^(2pi) int_(0)^(2cosvartheta) rho^2sinvartheta e^cosvartheta drhodvartheta $
Secondo voi è giusto? Grazie in anticipo a chi mi risponderà!
Risposte
Ti sei perso un pezzo, devi discutere $\rho=\min{2\cos \theta,1}$ al variare di $\theta$ e spezzare l'integrale nella somma di due integrali in base a quel minimo.
Questo, intuitivamente, viene dal fatto che avendo due circonferenze non concentriche, mentre un "pezzo" dell'insieme di integrazione (quello a destra della retta $x=\frac{1}{2}$) è descritto in coordinate polari dal raggio costante $\rho=1$, l'altro "pezzo" dell'insieme di integrazione (quello tra le rette $x=0$ ed $x=\frac{1}{2}$) è descritto in coordinate polari da $\rho=2\cos \theta$; se ti fai un bel disegno grande si vede che la frontiera del "pezzo" dell'insieme di integrazione tra le rette $x=0$ ed $x=\frac{1}{2}$ non ha punti equidistanti dal centro (ovvero raggio costante), ma punti con distanza dal centro dipendente da $\theta$.
Questo, intuitivamente, viene dal fatto che avendo due circonferenze non concentriche, mentre un "pezzo" dell'insieme di integrazione (quello a destra della retta $x=\frac{1}{2}$) è descritto in coordinate polari dal raggio costante $\rho=1$, l'altro "pezzo" dell'insieme di integrazione (quello tra le rette $x=0$ ed $x=\frac{1}{2}$) è descritto in coordinate polari da $\rho=2\cos \theta$; se ti fai un bel disegno grande si vede che la frontiera del "pezzo" dell'insieme di integrazione tra le rette $x=0$ ed $x=\frac{1}{2}$ non ha punti equidistanti dal centro (ovvero raggio costante), ma punti con distanza dal centro dipendente da $\theta$.
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