Integrale doppio, coordinate polari
Salve, ho delle difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
calcolare l'integrale della funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2)/(x-y) $ sull'insieme $ Omega ={(x,y)in R^2: x^2+y^2<=2(x-y)} $
Procedo coi calcoli per trovare le coordinate del centro della circonferenza e del suo raggio:
$ x^2+y^2-2(x-y)<=0 $
$ x^2+y^2-2x+2y<=0 $
Completo i quadrati:
$ x^2-2x-1+1+y^2+2y<=0 $
$ (x-1)^2+y^2+2y-1<=0 $
$ (x-1)^2+y^2+2y-1+1-1<=0 $
$ (x-1)^2+(y+1)^2-2<=0 $
$ (x-1)^2+(y+1)^2<=2 $
Si capisce quindi che la circonferenza ha centro in (1,-1)
Applicando la parametrizzazione
$ x=rhocostheta+1 $
$ y=rhosintheta-1 $
arrivo a dire che $ rho^2=2 $ e quindi $ rho=sqrt2 $
Scrivo quindi il nuovo dominio, secondo le coordinate polari appena trovate:
$ A={(rho, theta)inR^2: 0<=rho<=sqrt2, 0<=theta<=2pi} $
L'integrale doppio risulta essere il seguente:
$ int int_(Omega)(x^2+y^2)/(x-y) dx dy = int int_(A)((rhocostheta+1)^2+(rhosintheta-1)^2)/(rhocostheta+1-(rhosintheta-1))rho d rho d theta $
Sviluppo i quadrati:
$ int int_(A)(rho^2cos^2theta+1+2rhocostheta+rho^2sin^2theta+1-2rhosintheta)/(rhocostheta+1-rhosintheta+1)rho drho d theta $
Metto in evidenza:
$ int int_(A)(rho^2(cos^2theta+sin^2theta)+2rho(costheta-sintheta)+2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Siccome sappiamo che $ cos^2theta+sin^2theta=1 $ :
$ int int_(A)(rho^2+2rho(costheta-sintheta)+2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Spezzo in 3 integrali:
$ int int_(A)rho^2/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta + 2int int_(A)(rho(costheta-sintheta))/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta + 2int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2) rho drho d theta $
Semplifico il secondo integrale:
$ 2int int_(A)(rho(costheta-sintheta)+2-2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta=2 int int_(A)rhodrho d theta -4 int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Si nota che ci sono 2 integrali identici, uno moltiplicato per $ -4 $ e un altro per $ +2 $. Facendo la somma otteniamo i seguenti integrali:
$ int int_(A)rho^2/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta+2 int int_(A)rho drho d theta -2 int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
$ int int_(A) rho^3/(rho(costheta-sintheta)+2)drho d theta + 2 int int_(A)rho drho d theta - 2 int int_(A)rho/(rho(costheta-sintheta+2))drho d theta $
Scrivo gli integrali definiti:
$ int_(0)^(sqrt2)rho^3 drho int_(0)^(2pi)1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta+2 int_(0)^(sqrt2)rho drho int_(0)^(2pi)d theta -2 int_(0)^(sqrt2)rho drho int_(0)^(2pi) 1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta $
Si capisce quindi che il vero problema è il calcolo dell'integrale:
$ int 1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta $
Anche pensando di sostituire seno e coseno con le formule parametriche $ sin theta=(2t)/(1+t^2), cos theta=(1-t^2)/(1+t^2), d theta=2/(1+t^2)dt $
noto che la situazione si complica parecchio. Credo quindi di aver commesso qualche ORRORE nei passaggi precedenti ma non riesco a capire dove.
Via con le correzioni/consigli
P.S.: perdonate la lunghezza del post ma l'ho fatto per agevolare la lettura dei passaggi
calcolare l'integrale della funzione $ f(x,y)=(x^2+y^2)/(x-y) $ sull'insieme $ Omega ={(x,y)in R^2: x^2+y^2<=2(x-y)} $
Procedo coi calcoli per trovare le coordinate del centro della circonferenza e del suo raggio:
$ x^2+y^2-2(x-y)<=0 $
$ x^2+y^2-2x+2y<=0 $
Completo i quadrati:
$ x^2-2x-1+1+y^2+2y<=0 $
$ (x-1)^2+y^2+2y-1<=0 $
$ (x-1)^2+y^2+2y-1+1-1<=0 $
$ (x-1)^2+(y+1)^2-2<=0 $
$ (x-1)^2+(y+1)^2<=2 $
Si capisce quindi che la circonferenza ha centro in (1,-1)
Applicando la parametrizzazione
$ x=rhocostheta+1 $
$ y=rhosintheta-1 $
arrivo a dire che $ rho^2=2 $ e quindi $ rho=sqrt2 $
Scrivo quindi il nuovo dominio, secondo le coordinate polari appena trovate:
$ A={(rho, theta)inR^2: 0<=rho<=sqrt2, 0<=theta<=2pi} $
L'integrale doppio risulta essere il seguente:
$ int int_(Omega)(x^2+y^2)/(x-y) dx dy = int int_(A)((rhocostheta+1)^2+(rhosintheta-1)^2)/(rhocostheta+1-(rhosintheta-1))rho d rho d theta $
Sviluppo i quadrati:
$ int int_(A)(rho^2cos^2theta+1+2rhocostheta+rho^2sin^2theta+1-2rhosintheta)/(rhocostheta+1-rhosintheta+1)rho drho d theta $
Metto in evidenza:
$ int int_(A)(rho^2(cos^2theta+sin^2theta)+2rho(costheta-sintheta)+2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Siccome sappiamo che $ cos^2theta+sin^2theta=1 $ :
$ int int_(A)(rho^2+2rho(costheta-sintheta)+2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Spezzo in 3 integrali:
$ int int_(A)rho^2/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta + 2int int_(A)(rho(costheta-sintheta))/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta + 2int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2) rho drho d theta $
Semplifico il secondo integrale:
$ 2int int_(A)(rho(costheta-sintheta)+2-2)/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta=2 int int_(A)rhodrho d theta -4 int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
Si nota che ci sono 2 integrali identici, uno moltiplicato per $ -4 $ e un altro per $ +2 $. Facendo la somma otteniamo i seguenti integrali:
$ int int_(A)rho^2/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta+2 int int_(A)rho drho d theta -2 int int_(A)1/(rho(costheta-sintheta)+2)rho drho d theta $
$ int int_(A) rho^3/(rho(costheta-sintheta)+2)drho d theta + 2 int int_(A)rho drho d theta - 2 int int_(A)rho/(rho(costheta-sintheta+2))drho d theta $
Scrivo gli integrali definiti:
$ int_(0)^(sqrt2)rho^3 drho int_(0)^(2pi)1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta+2 int_(0)^(sqrt2)rho drho int_(0)^(2pi)d theta -2 int_(0)^(sqrt2)rho drho int_(0)^(2pi) 1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta $
Si capisce quindi che il vero problema è il calcolo dell'integrale:
$ int 1/(rho(costheta-sintheta)+2)d theta $
Anche pensando di sostituire seno e coseno con le formule parametriche $ sin theta=(2t)/(1+t^2), cos theta=(1-t^2)/(1+t^2), d theta=2/(1+t^2)dt $
noto che la situazione si complica parecchio. Credo quindi di aver commesso qualche ORRORE nei passaggi precedenti ma non riesco a capire dove.
Via con le correzioni/consigli
P.S.: perdonate la lunghezza del post ma l'ho fatto per agevolare la lettura dei passaggi
Risposte
secondo me in questo caso conviene scrivere l'equazione polare della circonferenza :
$rho=2(costheta-sentheta)$
e parametrizzare con
$x=rhocostheta;y=rhosentheta;theta in [-3/4pi,pi/4];rho in [0,2(costheta-sentheta)]$
$rho=2(costheta-sentheta)$
e parametrizzare con
$x=rhocostheta;y=rhosentheta;theta in [-3/4pi,pi/4];rho in [0,2(costheta-sentheta)]$
Grazie, ho sostituito quei parametri e l'integrale è finalmente "digeribile", solo che ho delle stranezze alla fine:
$ A={(rho, theta)in R^2:0<=rho<=2(costheta-sintheta), -3/4pi<=theta<=pi/4} $
$ int int_(A)(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta)/(rhocostheta-rhosintheta)rhodrhod theta = int int_(A)(rho^2(cos^2theta+sin^2theta))/(rho(costheta-sintheta))rhodrhod theta= $
$ =int int_(A)rho^2/(costheta-sintheta)drhod theta = int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2drho int_(-3/4pi)^(pi/4)1/(costheta-sintheta)d theta $
$ int1/(costheta-sintheta)d theta = int1/((1-t^2)/(1+t^2)-(2t)/(1+t^2))*2/(1+t^2)dt = 2int(1+t^2)/(1-t^2-2t)*1/(1+t^2)dt $
$ =2int1/(-t^2-2t+1)dt=-2int1/(t^2+2t-1)dt $
Quindi:
$ t^2+2t-1=0, Delta=8 $
$ t_(1,2)=(-2+-sqrt8)/2= $ da cui trovo $ t_1=-1-sqrt2 $ e $ t_2=-1+sqrt2 $
$ 1/(t^2+2t-1)=A/(t+1+sqrt2)+B/(t+1-sqrt2)=(At+A(1-sqrt2)+Bt+B(1+sqrt2))/(t^2+2t-1) $
Il sistema è quindi:
$ A+B=0; B=-A $
$ A(1-sqrt2)+B(1+sqrt2)=1 $
Trovo quindi che:
$ A=-1/(2sqrt2) $ e $ B=1/(2sqrt2) $
L'integrale precedente diventa quindi:
$ -2int-1/(2sqrt2(t+1+sqrt2))dt-2int1/(2sqrt2(t+1-sqrt2))dt= $
$ =1/sqrt2int1/(t+1+sqrt2)dt-1/sqrt2int1/(t+1-sqrt2)dt=1/sqrt2log|t+1+sqrt2|-1/sqrt2log|t+1-sqrt2|= $
$ =1/sqrt2log((|t+1+sqrt2|)/(|t+1-sqrt2|)) $
Sostituisco $ t=tan(theta/2) $ e calcolo il valore dell'integrale definito:
$ =[1/sqrt2log((|tan(theta/2)+1+sqrt2|)/(|tan(theta/2)+1-sqrt2|)) ]_((-3pi)/4)^(pi/4)= [1/sqrt2log((|tan(pi/8)+1+sqrt2|)/(|tan(pi/8)+1-sqrt2|))]-[1/sqrt2log((|tan((-3pi)/8)+1+sqrt2|)/(|tan((-3pi)/8)+1-sqrt2|))]$
Calcolo i valori della tangente:
$ [1/sqrt2log((|sqrt(2)-1+1+sqrt2|)/(|sqrt(2)-1+1-sqrt2|))] - [1/sqrt2log((|-1-sqrt2+1+sqrt2|)/(|-1-sqrt2+1-sqrt2|))] $
Svolgendo le semplici somme:
$ 1/sqrt2[log|(2sqrt(2))/(0)|] - 1/sqrt2[log|(0)/(-2sqrt2)|] $
Visto gli argomenti del logaritmo la domanda sorge spontanea: dove ho sbagliato?
$ A={(rho, theta)in R^2:0<=rho<=2(costheta-sintheta), -3/4pi<=theta<=pi/4} $
$ int int_(A)(rho^2cos^2theta+rho^2sin^2theta)/(rhocostheta-rhosintheta)rhodrhod theta = int int_(A)(rho^2(cos^2theta+sin^2theta))/(rho(costheta-sintheta))rhodrhod theta= $
$ =int int_(A)rho^2/(costheta-sintheta)drhod theta = int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2drho int_(-3/4pi)^(pi/4)1/(costheta-sintheta)d theta $
$ int1/(costheta-sintheta)d theta = int1/((1-t^2)/(1+t^2)-(2t)/(1+t^2))*2/(1+t^2)dt = 2int(1+t^2)/(1-t^2-2t)*1/(1+t^2)dt $
$ =2int1/(-t^2-2t+1)dt=-2int1/(t^2+2t-1)dt $
Quindi:
$ t^2+2t-1=0, Delta=8 $
$ t_(1,2)=(-2+-sqrt8)/2= $ da cui trovo $ t_1=-1-sqrt2 $ e $ t_2=-1+sqrt2 $
$ 1/(t^2+2t-1)=A/(t+1+sqrt2)+B/(t+1-sqrt2)=(At+A(1-sqrt2)+Bt+B(1+sqrt2))/(t^2+2t-1) $
Il sistema è quindi:
$ A+B=0; B=-A $
$ A(1-sqrt2)+B(1+sqrt2)=1 $
Trovo quindi che:
$ A=-1/(2sqrt2) $ e $ B=1/(2sqrt2) $
L'integrale precedente diventa quindi:
$ -2int-1/(2sqrt2(t+1+sqrt2))dt-2int1/(2sqrt2(t+1-sqrt2))dt= $
$ =1/sqrt2int1/(t+1+sqrt2)dt-1/sqrt2int1/(t+1-sqrt2)dt=1/sqrt2log|t+1+sqrt2|-1/sqrt2log|t+1-sqrt2|= $
$ =1/sqrt2log((|t+1+sqrt2|)/(|t+1-sqrt2|)) $
Sostituisco $ t=tan(theta/2) $ e calcolo il valore dell'integrale definito:
$ =[1/sqrt2log((|tan(theta/2)+1+sqrt2|)/(|tan(theta/2)+1-sqrt2|)) ]_((-3pi)/4)^(pi/4)= [1/sqrt2log((|tan(pi/8)+1+sqrt2|)/(|tan(pi/8)+1-sqrt2|))]-[1/sqrt2log((|tan((-3pi)/8)+1+sqrt2|)/(|tan((-3pi)/8)+1-sqrt2|))]$
Calcolo i valori della tangente:
$ [1/sqrt2log((|sqrt(2)-1+1+sqrt2|)/(|sqrt(2)-1+1-sqrt2|))] - [1/sqrt2log((|-1-sqrt2+1+sqrt2|)/(|-1-sqrt2+1-sqrt2|))] $
Svolgendo le semplici somme:
$ 1/sqrt2[log|(2sqrt(2))/(0)|] - 1/sqrt2[log|(0)/(-2sqrt2)|] $
Visto gli argomenti del logaritmo la domanda sorge spontanea: dove ho sbagliato?
ehm... quando passo a t con le formule parametriche devo cambiare anche gli estremi di integrazione nel "nuovo" integrale definito.
Disattenzione mia.
Comunque alla fine il calcolo è sempre lo stesso, come dovrei andare avanti?
Disattenzione mia.
Comunque alla fine il calcolo è sempre lo stesso, come dovrei andare avanti?
...ma visto che trasformando il dominio in coordinate polari si arriva ad avere un dominio di tipo rettangolare, perché non provare ad invertire l'ordine di integrazione visto che il dominio è normale sia rispetto all'asse delle ascisse che a quello delle ordinate? 
...e infatti:
$ int int_(A)rho^2/(costheta-sintheta)drhod theta = int_((-3pi)/4)^(pi/4)[int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2/(costheta-sintheta)drho]d theta $
sviluppo l'integrale interno:
$ int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2/(costheta-sintheta)drho = 1/(costheta-sintheta)int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2drho= $ $ =1/(costheta-sintheta)[rho^3/3]_(0)^(2(costheta-sintheta))=1/(costheta-sintheta)(8(costheta-sintheta)^3)/3 $ $ =8/3(costheta-sintheta)^2 $
Con questo risultato torno all'integrale esterno:
$ int_(-3/4pi)^(pi/4)8/3(costheta-sintheta)^2=8/3int_(-3/4pi)^(pi/4)(cos^2theta+sin^2theta-2sinthetacostheta)d theta $ $ =8/3int_(-3/4pi)^(pi/4)(1-2sinthetacostheta)d theta=8/3(int_(-3/4pi)^(pi/4)d theta-2int_(-3/4pi)^(pi/4)sinthetacostheta d theta) $
Sviluppo il secondo integrale:
$ -2intsinthetacosthetad theta $ applicando le seguenti sostituzioni $ t=sintheta, d theta=1/costhetadt $
Ottengo quindi:
$ -2intt*costheta*1/costhetadt=-2inttdt=-t^2=-sin^2theta $
Inserisco questo risultato nel precedente integrale esterno:
$ 8/3(int_(-3/4pi)^(pi/4)d theta-[sin^2theta]_(-3/4pi)^(pi/4))=8/3{[theta]_(-3/4pi)^(pi/4)-[sin^2theta]_(-3/4pi)^(pi/4)} $
$ =8/3[pi/4+3/4pi-(sin^2(pi/4)-sin^2(-3/4pi)]=8/3[pi-(1/2-1/2)]=8/3pi $
...e infatti:
$ int int_(A)rho^2/(costheta-sintheta)drhod theta = int_((-3pi)/4)^(pi/4)[int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2/(costheta-sintheta)drho]d theta $
sviluppo l'integrale interno:
$ int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2/(costheta-sintheta)drho = 1/(costheta-sintheta)int_(0)^(2(costheta-sintheta))rho^2drho= $ $ =1/(costheta-sintheta)[rho^3/3]_(0)^(2(costheta-sintheta))=1/(costheta-sintheta)(8(costheta-sintheta)^3)/3 $ $ =8/3(costheta-sintheta)^2 $
Con questo risultato torno all'integrale esterno:
$ int_(-3/4pi)^(pi/4)8/3(costheta-sintheta)^2=8/3int_(-3/4pi)^(pi/4)(cos^2theta+sin^2theta-2sinthetacostheta)d theta $ $ =8/3int_(-3/4pi)^(pi/4)(1-2sinthetacostheta)d theta=8/3(int_(-3/4pi)^(pi/4)d theta-2int_(-3/4pi)^(pi/4)sinthetacostheta d theta) $
Sviluppo il secondo integrale:
$ -2intsinthetacosthetad theta $ applicando le seguenti sostituzioni $ t=sintheta, d theta=1/costhetadt $
Ottengo quindi:
$ -2intt*costheta*1/costhetadt=-2inttdt=-t^2=-sin^2theta $
Inserisco questo risultato nel precedente integrale esterno:
$ 8/3(int_(-3/4pi)^(pi/4)d theta-[sin^2theta]_(-3/4pi)^(pi/4))=8/3{[theta]_(-3/4pi)^(pi/4)-[sin^2theta]_(-3/4pi)^(pi/4)} $
$ =8/3[pi/4+3/4pi-(sin^2(pi/4)-sin^2(-3/4pi)]=8/3[pi-(1/2-1/2)]=8/3pi $
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