Integrale doppio, coordinate polari
Ciao ragazzi, mi sono imbattuto nel seguente integrale:
$ int int_(V)sqrt(x^2+y^2)dxdy $ con $ V= x <= x^2+y^2 <= 2x $ , $ |y|<=x $
Definisco il nuovo dominio usando le coordinate polari:
per la prima espressione del dominio devo sicuramente avere:
$ cos(theta) >= 0 $ dato che $ 2 cos(theta) >= rho^2$ quantità sicuramente positiva
dall'altra espressione riesco a ricavare alla fine che $ -cos(theta) <= sen(theta) <= cos(theta) $ ---> $ -1 <= tan(theta) <= 1$
Quindi ho messo a sistema:
$ cos(theta) >= 0 $
$ -1 <= tan(theta) <= 1$
ed è vero se:
$0<= theta <= pi/4 e 7/4 pi <= theta <= 2pi $
Da cui ricavo l'angolo $theta$, e quindi il mio nuovo dominio sarà:
$ -cos(theta)<=rho<=2cos(theta)$ se $0<= theta <= pi/4 e 7/2 pi <= theta <= 2pi $
Quindi devo spezzarlo in due integrali, in cui la $rho$ non cambia gli estremi mentre $theta$ assume una volta i primi valori e una volta i secondi.
Sbaglio qualcosa? Grazie anticipatamente.
$ int int_(V)sqrt(x^2+y^2)dxdy $ con $ V= x <= x^2+y^2 <= 2x $ , $ |y|<=x $
Definisco il nuovo dominio usando le coordinate polari:
per la prima espressione del dominio devo sicuramente avere:
$ cos(theta) >= 0 $ dato che $ 2 cos(theta) >= rho^2$ quantità sicuramente positiva
dall'altra espressione riesco a ricavare alla fine che $ -cos(theta) <= sen(theta) <= cos(theta) $ ---> $ -1 <= tan(theta) <= 1$
Quindi ho messo a sistema:
$ cos(theta) >= 0 $
$ -1 <= tan(theta) <= 1$
ed è vero se:
$0<= theta <= pi/4 e 7/4 pi <= theta <= 2pi $
Da cui ricavo l'angolo $theta$, e quindi il mio nuovo dominio sarà:
$ -cos(theta)<=rho<=2cos(theta)$ se $0<= theta <= pi/4 e 7/2 pi <= theta <= 2pi $
Quindi devo spezzarlo in due integrali, in cui la $rho$ non cambia gli estremi mentre $theta$ assume una volta i primi valori e una volta i secondi.
Sbaglio qualcosa? Grazie anticipatamente.
Risposte
Nella mia soluzione c'è un errore di battutira, ovviamente non é $-cos(theta) $ ma +.
Non ho capito nel primo sistema la seconda disequazione. Perché tutti i termini sono di secondo grado se stai "traducendo" $ |y|<= x $ ? In ogni caso l'intervallo dei theta il mio e il tuo non coincidono?
Non ho capito nel primo sistema la seconda disequazione. Perché tutti i termini sono di secondo grado se stai "traducendo" $ |y|<= x $ ? In ogni caso l'intervallo dei theta il mio e il tuo non coincidono?
Da $2pi$ sto togliendo $pi/4$ l'unica differenza a differenza tua é che sto ragionando solo per angoli positivi. Se sbaglio a ragionare fammi capire dove. Io ho ragionato con la tangente per questo sono giunto a queste conclusioni.
Che stupido, ho sbagliato a digitare, ovviamente é 7/4. Visto che ho due intervalli non contigui, devo integrare in $ drho$ due volte, ognuno per ogni angolo no? Perché alla fine me lo spezzo in due integrali. Il risultato dovrebbe venire uguale giusto?
Perfetto, ti ringrazio e se quando hai tempo puoi dare un'occhio all'altro mio post con un integrale triplo te ne sarei grato 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo