Integrale doppio: conviene passare alle coordinate polari?
Si chiede di calcolare
[tex]\displaystyle \int_{+\partial B}( e^{x^2}+xy^2 )\, dx+ x\,dy[/tex]
Con B che è un cerchio di raggio 1 e centro nell'origine.
Tentativo di risoluzione
Uso il teor. della Divergenza
[tex]\displaystyle \int_{\partial D} -F_2 \, dx +F_1 \, dy = \int \int \frac{\partial F_2}{dy} + \frac{\partial F_1}{\partial x} \, dx \, dy[/tex]
Allora si ha
[tex]\displaystyle \frac{\partial F_2}{dy}= \frac{\partial [e^{x^2}+xy^2]}{dy}= 2xy[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial [x]}{\partial x}=1[/tex]
Adesso scrivo il doppio integrale:
[tex]\displaystyle \int \int_B 2xy +1 \: dx \, dy[/tex]
Mi domando: conviene passare alle coordinate polari? Cioé
[tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \bigg( 2\rho^2\cos \vartheta \sin \vartheta +1 \bigg) \rho \:\; d\rho \, d\vartheta[/tex]
[tex]\displaystyle \int_{+\partial B}( e^{x^2}+xy^2 )\, dx+ x\,dy[/tex]
Con B che è un cerchio di raggio 1 e centro nell'origine.
Tentativo di risoluzione
Uso il teor. della Divergenza
[tex]\displaystyle \int_{\partial D} -F_2 \, dx +F_1 \, dy = \int \int \frac{\partial F_2}{dy} + \frac{\partial F_1}{\partial x} \, dx \, dy[/tex]
Allora si ha
[tex]\displaystyle \frac{\partial F_2}{dy}= \frac{\partial [e^{x^2}+xy^2]}{dy}= 2xy[/tex]
[tex]\displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial [x]}{\partial x}=1[/tex]
Adesso scrivo il doppio integrale:
[tex]\displaystyle \int \int_B 2xy +1 \: dx \, dy[/tex]
Mi domando: conviene passare alle coordinate polari? Cioé
[tex]\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \bigg( 2\rho^2\cos \vartheta \sin \vartheta +1 \bigg) \rho \:\; d\rho \, d\vartheta[/tex]
Risposte
[C'è un segno sbagliato.]
$\int\int_B xy dx dy = 0$; puoi dimostrarlo, ad esempio, osservando che la funzione $g(x,y) = xy$ è dispari rispetto alla simmetria
$(x,y) \mapsto (x,-y)$, e l'insieme $B$ è invariante rispetto alla medesima simmetria.
Invece $\int\int_B 1 dx dy = "area"(B) = \pi$.
Come vedi non ci sono molti conti da fare.
$\int\int_B xy dx dy = 0$; puoi dimostrarlo, ad esempio, osservando che la funzione $g(x,y) = xy$ è dispari rispetto alla simmetria
$(x,y) \mapsto (x,-y)$, e l'insieme $B$ è invariante rispetto alla medesima simmetria.
Invece $\int\int_B 1 dx dy = "area"(B) = \pi$.
Come vedi non ci sono molti conti da fare.
In effetti è come hai detto tu, solo io ho dovuto fare tutti i calcolo per renderemene conto (il $sin \vartheta cos \vartheta $ li ho dovuti risolvere per parti ).
Grazie di aver contribuito.
Avrei un altro esercizio problematico.
Non voglio aprire un altro thread, visto che si tratta di una cosa minima.
Si richiede di calcolare i valori di A per cui la forma differenziale data è esatta in $D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |2xy|< \pi} $
[tex]\displaystyle \omega = \frac{1}{\cos^2 xy}\bigg( \bigg( \frac{\sin(2xy) }{1+A^2} +xy\bigg) \,dx+ x^2\,dy\bigg)[/tex]
Comincio subito con i calcoli. La forma diff. si presenta così: A(x,y) dx + B(x,y) dy.
Ad una prima occhiata, per calcolare la primitiva U(x,y) mi conviene integrare B(x,y) rispetto a y:
[tex]\displaystyle \int \frac{x^2}{cos^2(xy)}\: dy = x^2 \int \frac{1}{\cos^2(xy)}\: dy[/tex]
La mia domanda è semplicemente questa: come lo integro il cos²(xy) rispetto a y?
Grazie di aver contribuito.
Avrei un altro esercizio problematico.
Non voglio aprire un altro thread, visto che si tratta di una cosa minima.
Si richiede di calcolare i valori di A per cui la forma differenziale data è esatta in $D={(x,y)\in \mathbb{R}^2 : |2xy|< \pi} $
[tex]\displaystyle \omega = \frac{1}{\cos^2 xy}\bigg( \bigg( \frac{\sin(2xy) }{1+A^2} +xy\bigg) \,dx+ x^2\,dy\bigg)[/tex]
Comincio subito con i calcoli. La forma diff. si presenta così: A(x,y) dx + B(x,y) dy.
Ad una prima occhiata, per calcolare la primitiva U(x,y) mi conviene integrare B(x,y) rispetto a y:
[tex]\displaystyle \int \frac{x^2}{cos^2(xy)}\: dy = x^2 \int \frac{1}{\cos^2(xy)}\: dy[/tex]
La mia domanda è semplicemente questa: come lo integro il cos²(xy) rispetto a y?
Usa il fatto che $\frac{"d"}{"d"t}tan (t)=\frac{1}{cos^2t}$. Considera la $x$ come un parametro; quindi esplicitamente
$\frac{"d"}{"d"y}tan (xy)=x\frac{1}{cos^2xy}$ ;
continua tu.
$\frac{"d"}{"d"y}tan (xy)=x\frac{1}{cos^2xy}$ ;
continua tu.
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