Integrale doppio - consigli?

[phigreco1]

Salve,
devo integrare la seguente funzione $f(x,y)=x^2y+y^3$ nel seguente insieme $D={(x,y): x^2+y^2>=1, 4x^2+y^2<=4, y>=0}$
Avevo pensato di procedere con le coordinate polari o le ellittiche, ma mi blocco durante l'esplicazione dell'insieme in tali coordinate...
Consigli?

[Dante.utopia]

A che punto ti blocchi? Riesci a fare un disegno approssimativo dell'insieme (con fidocadj)?

[phigreco1]

L'insieme è la porzione di piano compresa tra una circonferenza centrata nell'origine di raggio 1 e un'ellissi che incontra gli assi in $x=+-1$ e in $y=2$, tutto ciò nel primo e nel secondo quadrante...

[*:3bjakm1d]Coordinate polari centrate in $(0,0)$:
$Phi: \{(x=rcos\theta), (y=rsin\theta):}$ con $|J_(\Phi)|=r$

[*:3bjakm1d]$x^2+y^2>=1 => r>=1$[/*:m:3bjakm1d]
[*:3bjakm1d]$y>=0 => 0<=\theta<=pi$[/*:m:3bjakm1d]
[*:3bjakm1d]$4x^2+y^2<=4 => r^2(4cos^2\theta + sin^2\theta)<=4$ [/*:m:3bjakm1d][/list:u:3bjakm1d][/*:m:3bjakm1d][/list:u:3bjakm1d]

Mi blocco qui.

[Dante.utopia]

ti sblocca sapere che, $4\cos^2 x+sin^2 x \ne 0$ per ogni x reale?

[phigreco1]

No... Con il tuo consiglio giungo alla conclusione che ho una variabile al quadrato $r^2$, moltiplicata per una quantità non nulla $4cos^2\theta + sin^2\theta$ e posta $<=4$... ma continuo a non trovare un maggiorante di $r$ per calcolare l'integrale

[Dante.utopia]

È lecito dividere per una quantità diversa da zero. Inoltre essendo il fattore trigonometrico strettamente positivi, la disuguaglianza non cambia segno all'atto di tale operazione.

[phigreco1]

Sì, ma volevo evitare una roba del genere: $\int_0^pi (\int_1^(sqrt(4/(4cos^2\theta+sin^2\theta)))f(\theta, r) dr)d\theta$

[Dante.utopia]

Quando cambi variabili, devi cambiarle anche alla funzione. Comunque l'integrale che viene fuori mi sembra risolvibile.

[phigreco1]

Avevo editato la funzione poco dopo aver postato. comunque, ti ringrazio

[Dante.utopia]

Ah ok hai editato , comunque se non ti piace quell'integrale puoi tentartela in coordinate ellittiche o cartesiane.