Integrale doppio: conferma.

[feddy]

Ciao a tutti, ho da svolgere il seguente integrale doppio

$ int int_(Omega) (x+y)/(x^2+y^2)dx dy $

sul dominio

$Omega:={(x,y) in RR^2: x+y<= 3,x^2+y^2>=2x,x^2+y^2>=2y,x>=0,y>=0}$

Vista la particolare forma, passo in coordinate polari e il dominio diventa

$Omega_{rho,theta}={rho(cos(theta)+sen(theta))<=3, rho>=2cos(theta),rho>=2sen(theta),cos(theta)>=0,sen(theta)>=0}$.

Dalle ultime due condizioni ricavo che l'angolo $theta in [0,pi/2]$.

Ho quindi ${0<=rho<=3/(cos(theta)+sen(theta))$.

L'integrale diventa quindi $ int_{0}^{pi/2} int_(0)^(3/(cos(theta)+sen(theta))) drhod theta=int_(0)^(pi/2) 3 d theta =3pi/2 $

E' corretto? Grazie per l'attenzione

[feddy]

Non sono convinto dell'intervallo in cui varia $rho$. In particlare, è giusto che sia minore di $3/(cos(theta)+sen(theta))$, ma non è maggiore solo di $0$. Eppure non so come fare

[Ziben]

Ciao,
ti pongo delle domande e sono anche un po' titubante nel farlo perché di sicuro ne sai a tonnellate più di me. Dopo il passaggio alle coordinare polari non si dovrebbe avere:

$(x+y)/(x^2+y^2)dxdy= (\rhocos\theta+\rhosin\theta)/(\rho^2)\rhod\rho\theta = (cos\theta+sin\theta)d\rho d\theta$ ?

E adesso casca l'asino. Dato che siamo nel primo quadrante e che:
$\rho \geq 2cos\theta$ e $\rho \geq 2sin\theta$ si potrebbe fare come segue?
$\rho^2 geq\ 4cos^2\theta$ e $\rho^2 \geq 4sin^2theta$ sommare e ottenere:

$2\rho^2 \geq 4$ e quindi $\rho \geq sqrt2$?

[feddy]

Ciao, va tranquillo che non ne so a tonnellate piu di te. Sono solo al seconfo anno di matematica la tua osservazione dovrebbe funzionare. Facendo un disegno del dominio dovrebbe risultare secondo me. Meglio provare domani mattina