Integrale doppio con valore assoluto
Salve,
mi è sorto un dubbio circa questo integrale $ int int_(D) |y-x^3| dx dy $ sul dominio $D={ (x,y) : 0<= x<=1 , 0<=y<=x }$
per risolverlo sono andato a studiare il segno dell'argomento del valore assoluto $ y>= x^3 $ ho visto per quali valori di D la funzione assume valori positivi e x quali negativi
Sono quindi andato a dividere il dominio in due parti, quella per i valori positivi e quella per i valori negativi
$D1 = { (x,y) : 0<= x<=1 , x^3<=y<=x} $
$D1 = { (x,y) : 0<= x<=1 , 0<=y<=x^3}$
e ho risolto due seguenti integrali
$ int int_(D1) y-x^3 \dx dy $ e $ int int_(D2) x^3-y \ dx dy $ andando alla fine a sommare i risultati
è giusto questo procedimento??
il dubbio mi è sorto perchè una professoressa mi ha detto che non andava risolto in questo modo ma integrando su D una volta la funzione con il segno positivo ed una volta invertendo i segni, facendo così però ogni integrale in cui la funzione è in valore assoluto restituirebbe 0.
come va eseguito questo integrale?
grazie a tutti anticipatamente
mi è sorto un dubbio circa questo integrale $ int int_(D) |y-x^3| dx dy $ sul dominio $D={ (x,y) : 0<= x<=1 , 0<=y<=x }$
per risolverlo sono andato a studiare il segno dell'argomento del valore assoluto $ y>= x^3 $ ho visto per quali valori di D la funzione assume valori positivi e x quali negativi
Sono quindi andato a dividere il dominio in due parti, quella per i valori positivi e quella per i valori negativi
$D1 = { (x,y) : 0<= x<=1 , x^3<=y<=x} $
$D1 = { (x,y) : 0<= x<=1 , 0<=y<=x^3}$
e ho risolto due seguenti integrali
$ int int_(D1) y-x^3 \dx dy $ e $ int int_(D2) x^3-y \ dx dy $ andando alla fine a sommare i risultati
è giusto questo procedimento??
il dubbio mi è sorto perchè una professoressa mi ha detto che non andava risolto in questo modo ma integrando su D una volta la funzione con il segno positivo ed una volta invertendo i segni, facendo così però ogni integrale in cui la funzione è in valore assoluto restituirebbe 0.
come va eseguito questo integrale?
grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Anche io avrei suddiviso il dominio come hai fatto tu. Sinceramente non ho capito cosa intende la tua professoressa.
ma infatti secondo me non ha molto senso fare due volte un integrale sullo stesso dominio due volte cambiando solo il segno avanti all'integrale...è ovvio che vengono due valori opposti che sommati si annullano.
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