Integrale doppio con valore assoluto
Buonasera ragazzi, ho un dubbio sul dominio di integrazione.
$\int int |x^2-y^2|dxdy$
su $D={(x,y) in RR^2 : 0<=y<=1 , y^2<=x<=y}$
Avendo il valore assoluto, ho deciso di dividere l'integrale nella somma di due integrali calcolati sui domini $D_1 D_2$
$|x^2-y^2|=\{(x^2-y^2 => x^2>=y^2),(y^2-x^2 => x^2<=y^2):}$
Il problema però è come trovare i due domini, $D_1,D_2$
$\int int |x^2-y^2|dxdy$
su $D={(x,y) in RR^2 : 0<=y<=1 , y^2<=x<=y}$
Avendo il valore assoluto, ho deciso di dividere l'integrale nella somma di due integrali calcolati sui domini $D_1 D_2$
$|x^2-y^2|=\{(x^2-y^2 => x^2>=y^2),(y^2-x^2 => x^2<=y^2):}$
Il problema però è come trovare i due domini, $D_1,D_2$
Risposte
Aggiungi una volta la condizione:
$x^2 >= y^2 $
E questo è un pezzo, poi prendi di nuovo $D$ e aggiungi la condizione:
$x^2 <= y^2 $
E questo è un altro pezzo, poi risolvi le disequazioni.
$x^2 >= y^2 $
E questo è un pezzo, poi prendi di nuovo $D$ e aggiungi la condizione:
$x^2 <= y^2 $
E questo è un altro pezzo, poi risolvi le disequazioni.
In che senso poi risolvo le disequazioni? Devo mettere a sistema le disequazioni del dominio iniziale?
Ciao,
non so se può andare bene, scrivo come ho fatto io in modo da essere corretto, in caso di errore.
Disegno il dominio $D$ così noto che è la parte limitata di piano compresa tra la retta $y=x$ e la parabola $x=y^2$ nel 1° quadrante.
Studio il segno di $x^2-y^2$:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) >0$ quando $x-y>0$ e $x+y>0$ (oppure entrambi negativi). Dalla prima ricavo $y-x$ (che è la parte di piano "sopra" la retta $y=-x$).
Pertanto $x^2-y^2$ risulta positivo nell'insieme $T$ costituito dalle parti di piano comprese tra le rette $y=x$ e $y=-x$ attraversate dall'asse delle ascisse.
Il dominio $D$ ha come intersezione con $T$ il segmento che giace sulla retta $y=x$ di estremi $(0,0)$ e $(1,1)$ dove $x^2-y^2$ è nullo mentre sulla restante parte di $D$ risulta negativo. Perciò l'integrale diventa:
$int_D(y^2-x^2)dxdy = int_0^1int_(y^2)^y(y^2-x^2)dxdy$
Mi scuso per la mancanza di rigore
non so se può andare bene, scrivo come ho fatto io in modo da essere corretto, in caso di errore.
Disegno il dominio $D$ così noto che è la parte limitata di piano compresa tra la retta $y=x$ e la parabola $x=y^2$ nel 1° quadrante.
Studio il segno di $x^2-y^2$:
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y) >0$ quando $x-y>0$ e $x+y>0$ (oppure entrambi negativi). Dalla prima ricavo $y
Pertanto $x^2-y^2$ risulta positivo nell'insieme $T$ costituito dalle parti di piano comprese tra le rette $y=x$ e $y=-x$ attraversate dall'asse delle ascisse.
Il dominio $D$ ha come intersezione con $T$ il segmento che giace sulla retta $y=x$ di estremi $(0,0)$ e $(1,1)$ dove $x^2-y^2$ è nullo mentre sulla restante parte di $D$ risulta negativo. Perciò l'integrale diventa:
$int_D(y^2-x^2)dxdy = int_0^1int_(y^2)^y(y^2-x^2)dxdy$
Mi scuso per la mancanza di rigore
"Ziben":
Ciao,
non so se può andare bene [...]
Mi sembra tutto corretto.
Grazie @Ziben!
@singularity
Grazie per la conferma.
@Vicia
prego, di nulla
Grazie per la conferma.
@Vicia
prego, di nulla
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