Integrale Doppio con Valore Assoluto
$ int int_(D)^() |sqrt(3)x - y| / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2) dx dy $
dove D è la circonferenza di raggio 1 e $ C (-1, - sqrt(3)) $
Salve ragazzi.
Mi sono approcciato a risolvere questo integrale doppio ma non mi è chiaro come svolgere bene l'esercizio con il valore assoluto.
Ho provato a risolverlo in questo modo:
per la definizione di valore assoluto:
$ f(x,y) = |sqrt(3)x - y | = { ( sqrt(3)x - y) ,( 0 ),( - sqrt(3)x + y ):} $
la prima per $ y > sqrt(3) $. la seconda quando $ y = sqrt(3)x $, la terza equazione per $ y < sqrt(3)x$
Il grafico del dominio:
Ho cercato di risolverlo in questo modo:
visto che abbiamo sdoppiato la funzione, calcolo l'integrale sui due domini, anche inseriti nel grafico soprastante.
$ int int_(D1)^() (sqrt(3)x) / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2) dx dy - int int_(D1)^() y / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2)dx dy + int int_(D2)^() y / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2) dx dy - int int_(D2)^() (sqrt(3)x) / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2)dx dy $
Gli estremi di integrazione non sono un problema, vorrei capire se posso risparmiare dei calcoli capendo cosa si annulla, se si annulla, per motivi di simmetria del dominio e della funzione.
Infine so che l'integrale può essere risolto banalmente con passaggio a coordinate polari traslate.
dove D è la circonferenza di raggio 1 e $ C (-1, - sqrt(3)) $
Salve ragazzi.
Mi sono approcciato a risolvere questo integrale doppio ma non mi è chiaro come svolgere bene l'esercizio con il valore assoluto.
Ho provato a risolverlo in questo modo:
per la definizione di valore assoluto:
$ f(x,y) = |sqrt(3)x - y | = { ( sqrt(3)x - y) ,( 0 ),( - sqrt(3)x + y ):} $
la prima per $ y > sqrt(3) $. la seconda quando $ y = sqrt(3)x $, la terza equazione per $ y < sqrt(3)x$
Il grafico del dominio:
Ho cercato di risolverlo in questo modo:
visto che abbiamo sdoppiato la funzione, calcolo l'integrale sui due domini, anche inseriti nel grafico soprastante.
$ int int_(D1)^() (sqrt(3)x) / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2) dx dy - int int_(D1)^() y / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2)dx dy + int int_(D2)^() y / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2) dx dy - int int_(D2)^() (sqrt(3)x) / ((x + 1)^2 + (y+ sqrt(3))^2)dx dy $
Gli estremi di integrazione non sono un problema, vorrei capire se posso risparmiare dei calcoli capendo cosa si annulla, se si annulla, per motivi di simmetria del dominio e della funzione.
Infine so che l'integrale può essere risolto banalmente con passaggio a coordinate polari traslate.
Risposte
Obbiettivamente, mettersi a fare i calcoli con la forma cartesiana dell'integrale è da folli: non tanto perché è un impresa impossibile, ma perché dovresti imporre tante e tali condizioni da uscirne pazzo (osserva che il dominio non è normale né rispetto all'una né all'altra variabile, per cui dovrai continuare a spezzettarlo). Molto più comodo, come dicevi, porre
$$x+1=r\cos t,\qquad y+\sqrt{3}=r\sin t$$
e osservare che l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 |\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dr\ dt=\int_0^{2\pi}|\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dt$$
A questo punto, l'integrale si scompone in una somma di differenti integrali, a seconda che $\sqrt{3}\cos t-\sin t\ge 0$ o $<0$.
$$x+1=r\cos t,\qquad y+\sqrt{3}=r\sin t$$
e osservare che l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 |\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dr\ dt=\int_0^{2\pi}|\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dt$$
A questo punto, l'integrale si scompone in una somma di differenti integrali, a seconda che $\sqrt{3}\cos t-\sin t\ge 0$ o $<0$.
ciampax mi trovo con il tuo metodo, però mi interessava analizzare questo integrale doppio dal punto di visto delle simmetrie e dalle semplificazione che si potrebbero fare (se ce ne fossero)
Guarda, viene davvero un caos di casi differenti. Ad esempio, prendi $D_1$, dove la roba in valore assoluto è positiva. L'integrale su di esso andrebbe suddiviso in due integrali diversi sui seguenti domini:
$$D_1^1=\left\{-2\le x\le -\frac{1}{2},\ -\sqrt{3}-\sqrt{1-(1+x)^2}\le y\le-\sqrt{3}+\sqrt{1-(1+x)^2}\right\}\\ D_1^2=\left\{-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2},\ \sqrt{3} x\le y\le -\sqrt{3}+\sqrt{1-(1+x)^2}\right\}$$
Una cosa simile accade per $D_2$. A questo punto dovresti determinare eventuali simmetrie sui domini corrispondenti, ma ti assicuro che, a meno che tu non voglia passare un po' di tempo a fare calcoli, è un lavoraccio.
$$D_1^1=\left\{-2\le x\le -\frac{1}{2},\ -\sqrt{3}-\sqrt{1-(1+x)^2}\le y\le-\sqrt{3}+\sqrt{1-(1+x)^2}\right\}\\ D_1^2=\left\{-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2},\ \sqrt{3} x\le y\le -\sqrt{3}+\sqrt{1-(1+x)^2}\right\}$$
Una cosa simile accade per $D_2$. A questo punto dovresti determinare eventuali simmetrie sui domini corrispondenti, ma ti assicuro che, a meno che tu non voglia passare un po' di tempo a fare calcoli, è un lavoraccio.
"ciampax":
Obbiettivamente, mettersi a fare i calcoli con la forma cartesiana dell'integrale è da folli: non tanto perché è un impresa impossibile, ma perché dovresti imporre tante e tali condizioni da uscirne pazzo (osserva che il dominio non è normale né rispetto all'una né all'altra variabile, per cui dovrai continuare a spezzettarlo). Molto più comodo, come dicevi, porre
$$x+1=r\cos t,\qquad y+\sqrt{3}=r\sin t$$
e osservare che l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 |\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dr\ dt=\int_0^{2\pi}|\sqrt{3}\cos t-\sin t|\ dt$$
A questo punto, l'integrale si scompone in una somma di differenti integrali, a seconda che $\sqrt{3}\cos t-\sin t\ge 0$ o $<0$.
Il calcolo di entrambi gli integrali con quegli estremi di integrazione è 0.
C'è qualcosa che non va.
A me viene fuori che devi calcolare questa roba qua:
$$\int_0^{\pi/3} f(t)\ dt+\int_{4\pi/3}^{2\pi} f(t)\ dt-\int_{\pi/3}^{4\pi/3} f(t)\ dt$$
Ti ritrovi? Con $f(t)=\sqrt{3}\cos t-\sin t$.
$$\int_0^{\pi/3} f(t)\ dt+\int_{4\pi/3}^{2\pi} f(t)\ dt-\int_{\pi/3}^{4\pi/3} f(t)\ dt$$
Ti ritrovi? Con $f(t)=\sqrt{3}\cos t-\sin t$.
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