Integrale doppio con valore assoluto
Ragazzi ho un problema grandissimo,
la mia prof ha dato all'esame questo integrale doppio con valore assoluto:
$∫∫_D [x|y|+1/2x^2|y|+xe^(x|y|)] dxdy D={(x,y): -1≤x≤1,-2≤y≤2}$
Io pensavo ma non si potrebbe calcolare l'integrale sull'insieme $A={8x,y)€d: 0<=x<=1 , 0<=y<=1}$ per motivi di simmetria e poi moltiplicarlo per 4?8Sicuro avrò detto la più grande ....ata della mia vita
). O ditemi voi..
Anche lo svolgimento non lo so fare..
Spero nel vostro aiuto altrimenti l'esame non lo supererò mai.
Grazie a tutti
la mia prof ha dato all'esame questo integrale doppio con valore assoluto:
$∫∫_D [x|y|+1/2x^2|y|+xe^(x|y|)] dxdy D={(x,y): -1≤x≤1,-2≤y≤2}$
Io pensavo ma non si potrebbe calcolare l'integrale sull'insieme $A={8x,y)€d: 0<=x<=1 , 0<=y<=1}$ per motivi di simmetria e poi moltiplicarlo per 4?8Sicuro avrò detto la più grande ....ata della mia vita
). O ditemi voi..Anche lo svolgimento non lo so fare..
Spero nel vostro aiuto altrimenti l'esame non lo supererò mai.
Grazie a tutti
Risposte
"75america":
Io pensavo ma non si potrebbe calcolare l'integrale sull'insieme $A={(x,y): 0<=x<=1 , 0<=y<=1}$ per motivi di simmetria e poi moltiplicarlo per 4
Oh no, non si può!
Immagina l'integranda (una funzione a due variabili) come un lenzuolo con diverse pieghe sovrastante il piano identificato dagli assi $x$ e $y$. Considera l'area identificata dai punti $(-1,-2),$ $(1,-2),$ $(1,2),$ $(-1,2)$ (che è un rettangolo): su quest'area il "lenzuolo" è disposto in un certo modo a noi ignoto a priori. Dato che l'integrale doppio corrisponde al volume formato tra la superficie del piano delimitata da quel rettangolo e il lenzuolo, non sapendo noi come il lenzuolo si comporta su quel rettangolo non possiamo ipotizzare né tantomeno giustificare quali diversi settori presentino un volume uguale, e quindi non possiamo (purtroppo!) calcolarne uno e poi moltiplicarlo per 4.
(Ovviamente, il lenzuolo può trovarsi anche sotto il piano)Questo integrale lo puoi spacchettare in due parti, approfittando del fatto che solo la variabile $y$ ha il modulo:
$int_(-1)^1int_(-2)^2 [x|y|+1/2x^2|y|+xe^(x|y|)] dxdy=$
$=int_(-1)^1int_(-2)^0 [-xy-1/2x^2y+xe^(-xy)] dxdy+int_(-1)^1int_0^2 [xy+1/2x^2y+xe^(xy)] dxdy$
ok capisco, però sul marcellini sbordone ho questo integrale:
$∫∫C[|xy|sen(y^2) cos(x^2+y^2) ]dxdy $ C=cerchio di centro $(0,0)$ e raggio $sqrt(pi/2)$
Il libro dice: per motivi di simmetia è sufficiente calcolare l'integrale sull' insieme:
$A={(x,y) €C: x>=0,y>=0}$ perchè qui sì e in quello di prima no?
Grazie mille, così mi aiuti a capire
$∫∫C[|xy|sen(y^2) cos(x^2+y^2) ]dxdy $ C=cerchio di centro $(0,0)$ e raggio $sqrt(pi/2)$
Il libro dice: per motivi di simmetia è sufficiente calcolare l'integrale sull' insieme:
$A={(x,y) €C: x>=0,y>=0}$ perchè qui sì e in quello di prima no?
Grazie mille, così mi aiuti a capire
Semplicemente perché in questo secondo caso la funzione-lenzuolo si comporta nello stesso modo sopra tutti i quadranti:
$f(x,y)=|xc|sin(y^2)cos(x^2+y^2)$
mentre la tua funzione si comporta in quest'altro modo:
$f(x,y)=x|y| + 1/2x^2|y| + xe^(x|y|)$
Come puoi notare, la tua funzione non ha andamento analogo nei diversi quadranti.
NB: comunque sia, anche l'integrale doppio di una funzione come quella riportata dal Marcellini-Sbordone può risultare diversa da $0$, basta cambiare l'area di integrazione. Allo stesso modo, l'integrale doppio di una funzione simile alla tua può risultare nullo in un'area opportuna (o più aree).
$f(x,y)=|xc|sin(y^2)cos(x^2+y^2)$
mentre la tua funzione si comporta in quest'altro modo:
$f(x,y)=x|y| + 1/2x^2|y| + xe^(x|y|)$
Come puoi notare, la tua funzione non ha andamento analogo nei diversi quadranti.
NB: comunque sia, anche l'integrale doppio di una funzione come quella riportata dal Marcellini-Sbordone può risultare diversa da $0$, basta cambiare l'area di integrazione. Allo stesso modo, l'integrale doppio di una funzione simile alla tua può risultare nullo in un'area opportuna (o più aree).
Scusami avrei questo integrale, la prof all'esame li da difficilissimi(almeno per me lo sono):
$∫∫D[|x-y|log(x^2+y^2)/(x^2+y^2)]dxdyD={(x,y):−1≤(x^2+y^2)≤2}$
io ho fcapito solo che il dominio si tratta di una circonferenza compresa tra 1 e $sqrt2$ di raggio, ma non saprei a quanti gradi corrispondono per passare a coordinate polari...
Mi potresti aiutare? Questi con il valore assoluto sono tremendi.
Comunque quello di prima l'ho risolto. Grazie
$∫∫D[|x-y|log(x^2+y^2)/(x^2+y^2)]dxdyD={(x,y):−1≤(x^2+y^2)≤2}$
io ho fcapito solo che il dominio si tratta di una circonferenza compresa tra 1 e $sqrt2$ di raggio, ma non saprei a quanti gradi corrispondono per passare a coordinate polari...
Mi potresti aiutare? Questi con il valore assoluto sono tremendi.
Comunque quello di prima l'ho risolto. Grazie
Il dominio che hai scritto corrisponde a una corona circolare centrata nell'origine avente raggio minore pari a $1$ e raggio maggiore pari a $sqrt2$ (sono certo che volevi scrivere $D=\{(x,y):1<=x^2+y^2<=2\}$).
Per quanto riguarda $theta$ devi considerare tutta la corona circolare, e allora l'angolo (da misurare in radianti, non in gradi) deve essere $0<=theta<=2pi$, e quindi il tuo integrale diventa in coordinate polari:
$∫∫_D[|x-y|ln(x^2+y^2)/(x^2+y^2)]dxdy=∫_1^(sqrt2)∫_0^(2pi)[|rho(cos(theta)-sin(theta))|ln(rho^2)/rho] drho d theta$
Il raggio è sempre positivo, quindi tirato $rho$ fuori dal modulo si semplifica nella forma
$=∫_1^(sqrt2)∫_0^(2pi)[|cos(theta)-sin(theta)|ln(rho^2)] drho d theta$
In questo modo il modulo contiene solo le due funzioni trigonometriche: sapendo che
$cos(theta)>=sin(theta) <=> -3/4pi<=theta<=pi/4$
l'integrale può essere riscritto come:
$=∫_1^(sqrt2)∫_(-3/4pi)^(pi/4)\{[cos(theta)-sin(theta)]ln(rho^2)\} drho d theta + ∫_1^(sqrt2)∫_(pi/4)^(5/4pi) \{-[cos(theta)-sin(theta)]ln(rho^2)\} drho d theta$
Per quanto riguarda $theta$ devi considerare tutta la corona circolare, e allora l'angolo (da misurare in radianti, non in gradi) deve essere $0<=theta<=2pi$, e quindi il tuo integrale diventa in coordinate polari:
$∫∫_D[|x-y|ln(x^2+y^2)/(x^2+y^2)]dxdy=∫_1^(sqrt2)∫_0^(2pi)[|rho(cos(theta)-sin(theta))|ln(rho^2)/rho] drho d theta$
Il raggio è sempre positivo, quindi tirato $rho$ fuori dal modulo si semplifica nella forma
$=∫_1^(sqrt2)∫_0^(2pi)[|cos(theta)-sin(theta)|ln(rho^2)] drho d theta$
In questo modo il modulo contiene solo le due funzioni trigonometriche: sapendo che
$cos(theta)>=sin(theta) <=> -3/4pi<=theta<=pi/4$
l'integrale può essere riscritto come:
$=∫_1^(sqrt2)∫_(-3/4pi)^(pi/4)\{[cos(theta)-sin(theta)]ln(rho^2)\} drho d theta + ∫_1^(sqrt2)∫_(pi/4)^(5/4pi) \{-[cos(theta)-sin(theta)]ln(rho^2)\} drho d theta$
Ciao, scusa la mia ignoranza, ma in trigonometria sono una frana:
$-3/4pi$ corrisponde a $-135°$, ma disegnato sulla circonferenza dove la trovo?
Poi scusami come hai fatto a ricavare che $cos(θ)≥sin(θ)⇔−3/4π≤θ≤pi/4$, mi sembra tanto la bisettrice tra 1 e terzo quadrante, però spiegami come hai fatto, altrimenti impazzisco..
Grazie mille per tutto l'aiuto che mi stai dando
$-3/4pi$ corrisponde a $-135°$, ma disegnato sulla circonferenza dove la trovo?
Poi scusami come hai fatto a ricavare che $cos(θ)≥sin(θ)⇔−3/4π≤θ≤pi/4$, mi sembra tanto la bisettrice tra 1 e terzo quadrante, però spiegami come hai fatto, altrimenti impazzisco..
Grazie mille per tutto l'aiuto che mi stai dando
"75america":
$-3/4pi$ corrisponde a $-135°$, ma disegnato sulla circonferenza dove la trovo?
Va benissimo domandarsi a quanto corrisponde in gradi un angolo espresso in radianti, ma cerca di pensare in radianti: prima ci riuscirai, più veloci saranno i tuoi conti - dover ogni volta convertire in gradi per capire quanto vale l'angolo e, fatti i conti, ri-convertirlo in radianti è uno spreco di tempo.
Ricordando che un angolo è assunto negativo in senso orario, sai che $-pi/2$ è un angolo retto, la cui metà è $-pi/4$; se li sommi:
$-pi/2-pi/4=-3/4pi$
che si trova dove?
NB: ovviamente:
$-3/4 pi = (-3/4 pi+2pi)=5/4 pi$
"75america":
come hai fatto a ricavare che $cos(θ)≥sin(θ)⇔−3/4π≤θ≤pi/4$
Per ricavare questa relazione osserva come si comportano le due funzioni in ogni quadrante.
I quadrante
Partendo dall'angolo nullo in senso antiorario, la relazione $cos(theta)>=sin(theta)$ si mantiene valida fintantoché non si raggiunge l'angolo $pi/4$, oltre il quale dunque la relazione è invertita.
II quadrante
Partendo da $theta=pi/2$, si ha che $sin(theta)>=0$ e $cos(theta)<=0$, da cui ovviamente $cos(theta)<=sin(theta)$ in tutto il quadrante
III quadrante
Partendo da $theta=pi$, la relazione $cos(theta)>=sin(theta)$ è valida solo oltre l'angolo $5/4pi$, prima del quale la relazione è invertita.
IV quadrante
Partendo da $theta=3/2pi$, si ha che $cos(theta)>=0$ e $sin(theta)<=0$, da cui ovviamente $cos(theta)>=sin(theta)$ in tutto il quadrante.
Mettendo tutto insieme ottieni la relazione $cos(θ)≥sin(θ)⇔−3/4π≤θ≤pi/4$.
NB: se hai dei problemi di trigonometria è bene che tu li risolva in fretta: la trigonometria nell'analisi matematica è fondamentale
scusa la domanda.
quindi se avessi scritto: $5/4pi<=theta<=pi/4$, sarebbe stato identico?
quindi se avessi scritto: $5/4pi<=theta<=pi/4$, sarebbe stato identico?
Indicherebbe la stessa cosa, ma non è formalmente corretto - "Come può $5/4pi$ essere inferiore di $pi/4$?"
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