Integrale doppio con un quarto di circonferenza

[Dyelo]

Buonasera a tutti. Ho questo problema da risolvere: Calcolare $int int xe^y$ nel dominio dato da $x>=0$, $y<=0$, $x^2 +y^2<=0$.
Poichè il dominio è dato dal quarto di circonferenza del quarto quadrante, ho imposto che il dominio è $0<=x<=2$, $0<=y<=sqrt(4-x^2)$, oppure in coordinate polari $3pi/2<=t<=2pi$, $0<=r<=2$. Il punto è che non riesco proprio a calcolare l'integrale, mi vengono o robe improponibili a causa dell'esponenziale, o risultati sbagliati. Sapreste darmi una mano, per favore?

[otta96]

"sguonza":$x^2 +y^2<=0

Mi sa $<=4$

il dominio è $0<=x<=2$, $0<=y<=sqrt(4-x^2)$

No è $-sqrt(4-x^2)<=y<=0$.

Che difficoltà hai nel calcolare l'integrale dell'esponenziale?

[Dyelo]

"otta96":[quote="sguonza"]$x^2 +y^2<=0

Mi sa $<=4$

il dominio è $0<=x<=2$, $0<=y<=sqrt(4-x^2)$

No è $-sqrt(4-x^2)<=y<=0$.

Che difficoltà hai nel calcolare l'integrale dell'esponenziale?[/quote]

Gli accorgimenti che mi hai detto tu li avevo scritti bene sul foglio, li ho semplicemente digitati male qui. Comunque dovrei aver risolto: sono arrivato ad avere la differenza tra $intx$ e $intxe^(-sqrt(4-x^2))$, entrambi compresi tra $0$ e $2$. Ho risolto il secondo ponendo $4-x^2=t$, e così facendo mi è venuto $inte^(-sqrtt)$ per $0

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[pilloeffe]

Ciao sguonza,

Mi risulta

$\int\int_D xe^y \text{d}x\text{d}y = 1 + 3/e^2 $

ove $D = {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y le 0} $

Ti sconsiglierei il ricorso alle coordinate polari...

[Dyelo]

"pilloeffe":Ciao sguonza,

Mi risulta

$\int\int_D xe^y \text{d}x\text{d}y = 1 + 3/e^2 $

ove $D = {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y le 0} $

Ti sconsiglierei il ricorso alle coordinate polari...

Sisi il risultato è quello, e mi è venuto tramite il procedimento che ho scritto nel messaggio precedente il tuo. Corretto?

[pilloeffe]

"sguonza":Corretto?

Sì. Scusami, ma quando ho pubblicato il mio post non mi compariva il tuo messaggio di risposta ad otta96...
Generalizzando il discorso, calcoliamoci $\int\int_{D_R} xe^y \text{d}x\text{d}y $

ove $ D_R := {(x, y) \in \RR^2 : x^2 + y^2 \le \R^2, x \ge 0, y le 0} $

Si ha:

$\int\int_{D_R} xe^y \text{d}x\text{d}y = \int_0^R \int_{-\sqrt{R^2 - x^2}}^0 xe^y \text{d}x\text{d}y = \int_0^R x(1 - e^{-\sqrt{R^2 - x^2}})\text{d}x = R^2/2 - \int_0^R x e^{-\sqrt{R^2 - x^2}}\text{d}x $

Posto $t := \sqrt{R^2 - x^2} \implies \text{d}t = - x/\sqrt{R^2 - x^2} \text{d}x \implies - t \text{d}t = x \text{d}x $, per $x = 0 \implies t = R $, per $x = R \implies t = 0 $, sicché si ha:

$\int\int_{D_R} xe^y \text{d}x\text{d}y = R^2/2 - \int_0^R x e^{-\sqrt{R^2 - x^2}}\text{d}x = R^2/2 + \int_R^0 t e^{- t} \text{d}t = R^2/2 - \int_0^R t e^{- t} \text{d}t = $

$ = R^2/2 - 1 + (R + 1)/e^R = (R^2 - 2)/2 + (R + 1)/e^R $

Nel caso particolare $R = 2 $ ovviamente si ottiene il risultato dell'esercizio proposto citato nel mio post precedente.