Integrale doppio con passaggio a coordinate polari

[pietro.boni94]

Buongiorno.
Aggirandomi tra diversi temi d'esame di Analisi II mi sono imbattuto nel seguente integrale doppio:

$ int_(E) xysqrt(2x^2+y^2)dx dy $
con $ E={(x,y) in R^2 : 0<=y<=1/sqrt(3)x ; x^2+y^2<=1} $

passando alle coordinate polari sono arrivato alla seguente forma:

$ int_(0)^(1) int_(0)^(pi/6) r^3costsintsqrt(1+(cost)^2)dt dr $
con $ E={(r,t) in R^2 : 0<=r<=1 ;0<=t<=pi/6} $

Ammesso che sino a qui abbia svolto i calcoli in maniera corretta, gli integrali con funzioni trigonometriche sono miei nemici giurata già dal liceo. Ho provato a usare anche qualche formula per semplificarmi il lavoro ma mi sembra sempre abbastanza difficile da risolvere.
C'è un metodo "furbo" per risolvere questo integrale o sono una marea di conti da fare?
Se ho fatto qualche erroraccio fatemelo pure notare

[seb1]

Non ho verificato nulla di come sei giunto a scrivere l'integrale, ma a occhio direi che hai scordato lo jacobiano. Ad ogni modo, risolvendo solamente l'integrale per come l'hai riportato, ti ritrovi con fuori dalla radice la derivata di quello sotto radice e dunque l'integrale è immediato. Nel caso non fosse di per sé evidente, puoi pur sempre considerare le identità
\begin{equation*}
2\sin\theta\cos\theta=\sin{2\theta}\\
2\cos^2\theta=1+\cos{2\theta}
\end{equation*}
che sottolineano la questione.

[pietro.boni94]

Cavoli, hai ragione, non avevo fatto caso che fuori dalla radice c'era la derivata
Per lo Jacobiano mi sono dimenticato di trascriverlo, ne avevo tenuto conto su carta

\[ \begin{equation*} 2\cos^2\theta=1+\cos{2\theta} \end{equation*} \]

Ammetto di non aver mai visto questa identità, buono a sapersi, può sempre tornare utile.
Grazie mille per l'aiuto, il risultato mi torna!