Integrale doppio con modulo nella funzione integranda
Salve a tutti. Mi sono imbattuto in questo esercizio:
$int int_Omega abs(y-2x^2)dxdy$ , con $Omega={(x,y) in RR^2: 0<=y<=2x<=3}$.
Per risolverlo, sono partito dalla rappresentazione grafica di $Omega$. Quindi, ho riscritto l'integrale come:
$int_ 0^3 int_(y/2)^(3/2) abs(y-2x^2)dxdy$. Dato che la funzione integranda ha il valore assoluto, mi sono chiesto quando l'argomento fosse $>=0$. Da qui sorgono i miei dubbi: guardando un esercizio su youtube sempre con modulo, viene diviso il dominio in due sottodomini, caratterizzando il segno del v.a. Perciò ho seguito questa strada, suddividendo $Omega$ in 4 sottodomini:
$Omega_1={0<=x<=1, 2x^2<=y<=2x}$
$Omega_2={0<=y<=2,1<=x<=3/2}$
$Omega_3={1<=x<=3/2, 2<=y<=2x}$
$Omega_4={0<=y<=2x^2, 0<=x<=1}$.
Procedendo cosi, non mi viene l'esercizio. Dov'è che sbaglio nell'impostare l'esercizio?
Grazie mille per l'aiuto
$int int_Omega abs(y-2x^2)dxdy$ , con $Omega={(x,y) in RR^2: 0<=y<=2x<=3}$.
Per risolverlo, sono partito dalla rappresentazione grafica di $Omega$. Quindi, ho riscritto l'integrale come:
$int_ 0^3 int_(y/2)^(3/2) abs(y-2x^2)dxdy$. Dato che la funzione integranda ha il valore assoluto, mi sono chiesto quando l'argomento fosse $>=0$. Da qui sorgono i miei dubbi: guardando un esercizio su youtube sempre con modulo, viene diviso il dominio in due sottodomini, caratterizzando il segno del v.a. Perciò ho seguito questa strada, suddividendo $Omega$ in 4 sottodomini:
$Omega_1={0<=x<=1, 2x^2<=y<=2x}$
$Omega_2={0<=y<=2,1<=x<=3/2}$
$Omega_3={1<=x<=3/2, 2<=y<=2x}$
$Omega_4={0<=y<=2x^2, 0<=x<=1}$.
Procedendo cosi, non mi viene l'esercizio. Dov'è che sbaglio nell'impostare l'esercizio?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
$Omega_1$ è ok e ci integri $y-2x^2$
$Omega_4$ è ok e ci integri $2x^2-y$
$Omega_3$ è quasi ok, la $0<=y<=2x$ e ci integri nuovamente $2x^2-y$
Fine.
$Omega_2$ non ho idea da dove tu lo abbia tirato fuori.
P.S. Ho corretto il post perchè coi copia e incolla ho fatto un macello.
$Omega_4$ è ok e ci integri $2x^2-y$
$Omega_3$ è quasi ok, la $0<=y<=2x$ e ci integri nuovamente $2x^2-y$
Fine.
$Omega_2$ non ho idea da dove tu lo abbia tirato fuori.
P.S. Ho corretto il post perchè coi copia e incolla ho fatto un macello.
"Bokonon":
$Omega1$ è ok e ci integri $y-2x^2$
$Omega4$ è ok e ci integri $2x^2-y$
$Omega3$ è quasi ok, la $0<=y<=2x$ e ci integri nuovamente $y-2x^2$
Fine.
In $Omega_3$ la $x$ varia tra $1<=x<=3/2$ giusto?
$Omega_2$ l'avevo tirato fuori dividendo quello che tu hai chiamato $Omega_3$
"Gianluk3":
In $Omega_3$ la $x$ varia tra $1<=x<=3/2$ giusto?
Si. Guarda che ho corretto il post.
Il punto è che il modulo dell'integranda aggiunge un vincolo ma solo nell'intervallo $0<=x<=1$ quindi qua servono due integrali + uno per $1<=x<=3/2$
Supponiamo che l'integranda fosse stata $|y-4/3x^2|$, quanti integrali avresti impostato in questo caso?
Supponiamo che l'integranda fosse stata $|y-4/3x^2|$, quanti integrali avresti impostato in questo caso?
"Bokonon":
Supponiamo che l'integranda fosse stata $|y-4/3x^2|$, quanti integrali avresti impostato in questo caso?
In questo caso, avrei avuto due integrali, uno con $y-4/3x^2$ e uno con $-y+4/3x^2$, perchè l'integranda divideva $Omega$ in due parti che potevo scrivere come due domini semplici.
Esatto
"Bokonon":
Esatto
Grazie mille per l'aiuto!
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