Integrale doppio con logaritmo nella funzione
Salve a tutti, sono nuovo di questo forum.
Ho un integrale doppio da risolvere e purtroppo il logaritmo mi dà qualche problema nei calcoli e quindi non riesco a finirli.
L'integrale è : $\int int (y*text(ln)(x^2+y^2))/(x^2+4*y^2) dxdy$ e il dominio è $\D={ x^2+4*y^2<=4, y>=2*x}$
Quindi il dominio è l'intersezione a sinistra tra la retta e l'ellisse.
ho calcolato i punti d'intersezione facendo il sistema tra retta ed ellisse ed ho ottenuto $\P1=(2/sqrt(17),4/sqrt(17))$ e $\P2=(2/sqrt(17),4/sqrt(17))$
Poi ho pensato di utilizzare le coordinate ellittiche $\{(x=2*rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)):}$ con $\J=2*rho$
e l'integrale diventa:
$\int int sin(theta)/2*(ln(rho^2)+ln(4*cos(theta)^2+sin(theta)^2)) drho d(theta)$
Adesso devo calcolare i valori in cui variano $\rho$ e $\theta$:
utilizzando le coordinate ellittiche nel dominio, mi calcolo che $\rho^2 <= 1$ e $\tan(theta)>=4$
quindi avrò:
$\int_{0}^{1} int_{arctan(4)}^{pi+arctan(4)} sin(theta)/2*(ln(rho^2)+ln(4*cos(theta)^2+sin(theta)^2)) drho d(theta)$
poi da qui in poi non riesco ad andare avanti perchè il logaritmo mi complica molto i calcoli. potete per favore controllare se i miei calcoli sono esatti e dirmi se esiste qualche stratagemma per semplificare qualcosa? Grazie in anticipo.
Ho un integrale doppio da risolvere e purtroppo il logaritmo mi dà qualche problema nei calcoli e quindi non riesco a finirli.
L'integrale è : $\int int (y*text(ln)(x^2+y^2))/(x^2+4*y^2) dxdy$ e il dominio è $\D={ x^2+4*y^2<=4, y>=2*x}$
Quindi il dominio è l'intersezione a sinistra tra la retta e l'ellisse.
ho calcolato i punti d'intersezione facendo il sistema tra retta ed ellisse ed ho ottenuto $\P1=(2/sqrt(17),4/sqrt(17))$ e $\P2=(2/sqrt(17),4/sqrt(17))$
Poi ho pensato di utilizzare le coordinate ellittiche $\{(x=2*rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)):}$ con $\J=2*rho$
e l'integrale diventa:
$\int int sin(theta)/2*(ln(rho^2)+ln(4*cos(theta)^2+sin(theta)^2)) drho d(theta)$
Adesso devo calcolare i valori in cui variano $\rho$ e $\theta$:
utilizzando le coordinate ellittiche nel dominio, mi calcolo che $\rho^2 <= 1$ e $\tan(theta)>=4$
quindi avrò:
$\int_{0}^{1} int_{arctan(4)}^{pi+arctan(4)} sin(theta)/2*(ln(rho^2)+ln(4*cos(theta)^2+sin(theta)^2)) drho d(theta)$
poi da qui in poi non riesco ad andare avanti perchè il logaritmo mi complica molto i calcoli. potete per favore controllare se i miei calcoli sono esatti e dirmi se esiste qualche stratagemma per semplificare qualcosa? Grazie in anticipo.
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