Integrale doppio con funzione esponenziale....
Salve ragazzi,
non riesco a risolvere questo integrale doppio con funzione esponenziale, qualcuno ha idee
:
$ int int_(D)e^(x/y) dx dy $
dove D è il triangolo curvilineo delimitato dalla parabola $ y=x^2 $ e dalle rette $ y=1 $ e $ y=0 $
Questo è stato il mio ragionamento
:
prima ho calcolato il dominio come $ (x,y) in R^2 | 0<= y<= 1,0<= x<= sqrty $
da ciò...
$ int_(0)^(sqrty)dyint_(0)^(1) e^(x/y) dx $
quindi ho effettuato la sostituzione $ x/y=t $ da cui $ int_(0)^(1) dyint_(0)^(sqrty/y) e^ty dx= int_(0)^(1) ydyint_(0)^(sqrty/y) e^t dx= int_(0)^(1) y(e^(sqrty/y)-1)dy $
da questo punto in poi mi sono perso
grazie a tutti per l'aiuto
non riesco a risolvere questo integrale doppio con funzione esponenziale, qualcuno ha idee
:$ int int_(D)e^(x/y) dx dy $
dove D è il triangolo curvilineo delimitato dalla parabola $ y=x^2 $ e dalle rette $ y=1 $ e $ y=0 $
Questo è stato il mio ragionamento
:prima ho calcolato il dominio come $ (x,y) in R^2 | 0<= y<= 1,0<= x<= sqrty $
da ciò...
$ int_(0)^(sqrty)dyint_(0)^(1) e^(x/y) dx $
quindi ho effettuato la sostituzione $ x/y=t $ da cui $ int_(0)^(1) dyint_(0)^(sqrty/y) e^ty dx= int_(0)^(1) ydyint_(0)^(sqrty/y) e^t dx= int_(0)^(1) y(e^(sqrty/y)-1)dy $
da questo punto in poi mi sono perso
grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Sei sicuro di doverlo calcolare? Perché io credo proprio che quell'integrale diverga, e forse devi più che altro dimostrare questo a priori.
Ad essere sincero mi sto esercitando per l'esame di analisi 2 ... ed ho trovato quest'esercizio tra quelli presentati ai compiti d'esame passati alla facoltà d'ingegneria...sinceramente l'ho trovato un pò "anomalo" fin da subito ma l'esercizio dice "calcolare il seguente integrale doppio"... ci ho perso una giornata di riflessione 
Dunque, ti faccio vedere cosa mi viene fuori. Per prima cosa, una osservazione sul dominio: esso può essere scritto in due modi, i seguenti
$$D:\ -1\le x\le 1,\qquad x^2\le y\le 1$$
$$D:\ 0\le y\le 1,\qquad -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}$$
(tu hai preso mezzo dominio, nella tua definizione, a meno che non ti sia dimenticato di scrivere che vale anche la condizione $x\ge 0$). Pertanto possiamo scrivere l'integrale in due modi
$$I_1=\int_{-1}^1\int_{x^2}^1 e^{x/y}\ dy\ dx$$
$$I_2=\int_0^1\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} e^{x/y}\ dx\ dy$$
Il primo integrale risulta,già ad occhio, ostico, dal momento che la variabile di integrazione si presenta al denominatore dell'esponente, per cui preferiamo usare il secondo. Abbiamo
$$I_2=\int_0^1\left[y e^{x/y}\right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\ dy=\int_0^1 y\left(e^{1/\sqrt{y}}-e^{-1/\sqrt{y}}\right)\ dy$$
Poniamo allora $1/\sqrt{y}=t$, da cui $y=1/t^2$. Osserva pure che $dy=-2/t^3$ e che $y=1\to t=1,\ y=0\to t=+\infty$, per cui
$$I_2=\int_{+\infty}^1 \frac{1}{t^2}\left(e^t-e^{-t}\right)\left(-\frac{2}{t^3}\right)\ dt=2\int_1^{+\infty}\frac{e^t-e^{-t}}{t^5}\ dt$$
Ora, una rapida occhiata all'integrale, ti fa comprendere che il suo valore diverge, a causa della presenza di quell'esponenziale divergente. Per cui non credo proprio sia possibile calcolare tale integrale.
$$D:\ -1\le x\le 1,\qquad x^2\le y\le 1$$
$$D:\ 0\le y\le 1,\qquad -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}$$
(tu hai preso mezzo dominio, nella tua definizione, a meno che non ti sia dimenticato di scrivere che vale anche la condizione $x\ge 0$). Pertanto possiamo scrivere l'integrale in due modi
$$I_1=\int_{-1}^1\int_{x^2}^1 e^{x/y}\ dy\ dx$$
$$I_2=\int_0^1\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} e^{x/y}\ dx\ dy$$
Il primo integrale risulta,già ad occhio, ostico, dal momento che la variabile di integrazione si presenta al denominatore dell'esponente, per cui preferiamo usare il secondo. Abbiamo
$$I_2=\int_0^1\left[y e^{x/y}\right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}\ dy=\int_0^1 y\left(e^{1/\sqrt{y}}-e^{-1/\sqrt{y}}\right)\ dy$$
Poniamo allora $1/\sqrt{y}=t$, da cui $y=1/t^2$. Osserva pure che $dy=-2/t^3$ e che $y=1\to t=1,\ y=0\to t=+\infty$, per cui
$$I_2=\int_{+\infty}^1 \frac{1}{t^2}\left(e^t-e^{-t}\right)\left(-\frac{2}{t^3}\right)\ dt=2\int_1^{+\infty}\frac{e^t-e^{-t}}{t^5}\ dt$$
Ora, una rapida occhiata all'integrale, ti fa comprendere che il suo valore diverge, a causa della presenza di quell'esponenziale divergente. Per cui non credo proprio sia possibile calcolare tale integrale.
però,se si voleva dimostrare la divergenza,era meglio partire da dove era arrivato blitz
l'integrale $ int_(0)^(1) e^(1/sqrty)y dy $ diverge perchè per $y rarr0^+$ l'integrando è un infinito di ordine maggiore di 1
l'integrale $ int_(0)^(1) e^(1/sqrty)y dy $ diverge perchè per $y rarr0^+$ l'integrando è un infinito di ordine maggiore di 1
Sì, ok, era per rendere la cosa più chiara possibile.
ciao ciampax
ne approfitto per discutere di un dubbio che mi è ritornato
non so se ti ricordi di quella discussione sull'applicazione di De L'Hopital
tu hai detto che non aveva senso risolvere con questa regola il limite $ lim_(h rarr 0)(arctg(1/h^2)-pi/2)/h $
ma se considero la funzione così definita
$g(0)=0$
$g(h)=arctg(1/h^2)-pi/2$ per $h ne 0$
non ti sembra che questa funzione abbia i requisti per l'applicazione della regola,visto che il teorema richiede che essa sia continua in $0$ e derivabile in un intorno di $0$,al più escluso $0$ ?
ne approfitto per discutere di un dubbio che mi è ritornato
non so se ti ricordi di quella discussione sull'applicazione di De L'Hopital
tu hai detto che non aveva senso risolvere con questa regola il limite $ lim_(h rarr 0)(arctg(1/h^2)-pi/2)/h $
ma se considero la funzione così definita
$g(0)=0$
$g(h)=arctg(1/h^2)-pi/2$ per $h ne 0$
non ti sembra che questa funzione abbia i requisti per l'applicazione della regola,visto che il teorema richiede che essa sia continua in $0$ e derivabile in un intorno di $0$,al più escluso $0$ ?
Bé sì, se fai così la cosa funzione. Quello che ci tenevo a sottolineare, però, è di stare attenti a non fare azioni ridondanti, come accade se uno vuole dimostrare la derivabilità in un punto usando de l'Hopital (e non specifica quello che hai fatto tu).
sì,su questo sono d'accordo
anche io cerco di usare questa regola il meno possibile
solo che il limite mi sembrava abbastanza antipatico
anche io cerco di usare questa regola il meno possibile
solo che il limite mi sembrava abbastanza antipatico
Eh, lo so, ti capisco. Però io sono uno di quelli che Hopital non lo usa mai! Per cui... (adesso finiamola con l'OT però).
la tua risposta mi sembra un po' sgarbata
se volevi finirla subito con l' OT non era necessario che scrivessi l'ultimo post
se volevi finirla subito con l' OT non era necessario che scrivessi l'ultimo post
No stormy, scusa, non volevo sembrare sgarbato! Perdonami, l'ho scritto così, senza metterci tanti preamboli.
Concordo con te ciampix...anche per me l'integrale diverge...ed in merito al dominio ho considerato erroneamente solo il primo quadrante positivo...chissà perche venne assegnato in quell'esame la domanda mi viene spontanea
Grazie tante per le risposte
Grazie tante per le risposte
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