Integrale doppio con esponenziale
Salve, ho bisogno di una mano per un integrale doppio!!
$ int_(-1)^(1) int_(|x|)^(root()((2-x)) )e^(x^2+y^2) dx dy $
Io ho pensato di usare le coordinate polari trovato così:
$ int_(-1)^(1) int_(rho|cosvartheta |)^(root()((2-rho^2cos^2theta)) )e^(rho^2)* rho drho dvartheta = int_(-1)^(1) 1/2int_(rho|cosvartheta |)^(root()((2-rho^2cos^2theta)) )2rho *e^(rho^2) drho dvartheta $
(ho messo $ rho$ fuori dal valore assoluto in quanto per ipotesi è positivo)
Il problema è che ora non so come procedere.. guardando l'integrale più interno mi chiedo: ma devo integrare rispetto a $ theta$ o rispetto a $ rho$ visto che gli estremi li contengono entrambi?
Io ho provato a procedere con $ drho$ ma non vorrei andare avanti con i calcoli sbagliando, potete darmi una dritta?
Grazie!!
$ int_(-1)^(1) int_(|x|)^(root()((2-x)) )e^(x^2+y^2) dx dy $
Io ho pensato di usare le coordinate polari trovato così:
$ int_(-1)^(1) int_(rho|cosvartheta |)^(root()((2-rho^2cos^2theta)) )e^(rho^2)* rho drho dvartheta = int_(-1)^(1) 1/2int_(rho|cosvartheta |)^(root()((2-rho^2cos^2theta)) )2rho *e^(rho^2) drho dvartheta $
(ho messo $ rho$ fuori dal valore assoluto in quanto per ipotesi è positivo)
Il problema è che ora non so come procedere.. guardando l'integrale più interno mi chiedo: ma devo integrare rispetto a $ theta$ o rispetto a $ rho$ visto che gli estremi li contengono entrambi?
Io ho provato a procedere con $ drho$ ma non vorrei andare avanti con i calcoli sbagliando, potete darmi una dritta?
Grazie!!
Risposte
Infatti non puoi sostituire così "brutalmente". Devi vedere dove variano le coordinate.
Fai un disegno, a volte aiuta a capire cosa succede.
Già da $y > |x|$ ricavi che $\theta in (\pi/4, \frac{3}{4}\pi)$
Da $y < \sqrt{2-x}$ ottieni che $\rho \sin \theta < \sqrt{ 2 - \rho \cos \theta}$ e questa, con un po' di pazienza si può risolvere rispetto a $\rho$.
Rimane $|x| < 1$, da cui deriva $\rho | \cos \theta | < 1$. Poiché la parabola $y= \sqrt{2-x}$ e la spezzata $y= |x|$ si incontrano proprio in $(1,1)$, quando $y$ è compresa fra queste due curve abbiamo già che $x<1$. Perciò, l'unica informazione aggiuntiva è data da $x > -1$, da cui ricaviamo che $\rho \cos \theta > -1$ per opportuni valori di $\theta$. Quali sono questi valori? Per $x=-1$ la parabola passa per $(-1, \sqrt{3})$ e l'altra curva per $(-1,1)$. Questi due valori corrispondono rispettivamente agli angoli $\frac{2}{3}\pi$ e $\frac{3}{4} \pi$. Ma allora solo in questa fascia bisogna imporre la limitazione, perché per altri angoli, quando la $y$ è compresa fra le curve, non si raggiunge mai $x=-1$. Se fai un disegno, tutte queste considerazioni mistiche diverranno più chiare.
Allora per tali valori di $\theta$ ho che[nota]ricorda che nel secondo quadrante il coseno è negativo e quindi il segno della disuguaglianza si inverte.[/nota] $\rho < -\frac{1}{\cos \theta}$.
In definitiva, ti consiglio di spezzare l'integrale in due parti con le seguenti limitazioni:
$$\begin{cases} 0 \leq \theta \leq \frac{2}{3} \pi \\ 0 \leq \rho \leq f(\theta) \end{cases}$$
dove $f(\theta)$ la determini risolvendo la disequazione scritta sopra, e poi:
$$\begin{cases} \frac{2}{3}\pi \leq \theta \leq \frac{3}{4} \pi \\ 0 \leq \rho \leq - \frac{1}{\cos \theta} \end{cases}$$
Detto ciò, non mi pare che venga qualcosa di facilmente integrabile poi, quindi forse bisogna pensare a una strada alternativa
In ogni caso, spero tu abbia capito il procedimento 
Fai un disegno, a volte aiuta a capire cosa succede.
Già da $y > |x|$ ricavi che $\theta in (\pi/4, \frac{3}{4}\pi)$
Da $y < \sqrt{2-x}$ ottieni che $\rho \sin \theta < \sqrt{ 2 - \rho \cos \theta}$ e questa, con un po' di pazienza si può risolvere rispetto a $\rho$.
Rimane $|x| < 1$, da cui deriva $\rho | \cos \theta | < 1$. Poiché la parabola $y= \sqrt{2-x}$ e la spezzata $y= |x|$ si incontrano proprio in $(1,1)$, quando $y$ è compresa fra queste due curve abbiamo già che $x<1$. Perciò, l'unica informazione aggiuntiva è data da $x > -1$, da cui ricaviamo che $\rho \cos \theta > -1$ per opportuni valori di $\theta$. Quali sono questi valori? Per $x=-1$ la parabola passa per $(-1, \sqrt{3})$ e l'altra curva per $(-1,1)$. Questi due valori corrispondono rispettivamente agli angoli $\frac{2}{3}\pi$ e $\frac{3}{4} \pi$. Ma allora solo in questa fascia bisogna imporre la limitazione, perché per altri angoli, quando la $y$ è compresa fra le curve, non si raggiunge mai $x=-1$. Se fai un disegno, tutte queste considerazioni mistiche diverranno più chiare.
Allora per tali valori di $\theta$ ho che[nota]ricorda che nel secondo quadrante il coseno è negativo e quindi il segno della disuguaglianza si inverte.[/nota] $\rho < -\frac{1}{\cos \theta}$.
In definitiva, ti consiglio di spezzare l'integrale in due parti con le seguenti limitazioni:
$$\begin{cases} 0 \leq \theta \leq \frac{2}{3} \pi \\ 0 \leq \rho \leq f(\theta) \end{cases}$$
dove $f(\theta)$ la determini risolvendo la disequazione scritta sopra, e poi:
$$\begin{cases} \frac{2}{3}\pi \leq \theta \leq \frac{3}{4} \pi \\ 0 \leq \rho \leq - \frac{1}{\cos \theta} \end{cases}$$
Detto ciò, non mi pare che venga qualcosa di facilmente integrabile poi, quindi forse bisogna pensare a una strada alternativa
In ogni caso, spero tu abbia capito il procedimento
"Antimius":
Detto ciò, non mi pare che venga qualcosa di facilmente integrabile poi, quindi forse bisogna pensare a una strada alternativa
Grazie per la risposta!!
Si, ho capito il procedimento ma speravo in qualcosa di più "facile".. non c'è nessun trucchetto che lo fa riuscire in 3 passaggi?
"studente-studente":Quale tra i due è l'estremo superiore non costante corretto?
$ int_(-1)^(1) int_(|x|)^(root()((2-x)) )e^(x^2+y^2) dx dy $
Io ho pensato di usare le coordinate polari trovato così:
$ int_(-1)^(1) int_(rho|cosvartheta |)^(root()((2-rho^2cos^2theta)) )e^(rho^2)* rho drho dvartheta $
"seb":
Quale tra i due è l'estremo superiore non costante corretto?
Scusa non capisco che intendi, ho sbagliato a scrivere? Perché a me sembra giusto..
Se il cambio di variabile è \(x=\rho\cos{\vartheta}\), da \(\sqrt{2-x}\) dovresti ottenere \(\sqrt{2-\rho\cos{\vartheta}}\) e non \(\sqrt{2-\rho^2\cos^2{\vartheta}}\). Alternativamente l'estremo è \(\sqrt{2-x^2}\)
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