Integrale doppio con e
ciao a tutti ho svolto il seguente esercizio $\int int e^(x+2y) dxdy$ nel seguente insieme $D: -2<=x+2y<=2;-2<=x-2y<=2$ il risultato finale è $-e^2$ confermate? 
grazie a tutti
grazie a tutti
Risposte
"john.78":
ciao a tutti ho svolto il seguente esercizio $ \int int e^(x+2y) dxdy $ nel seguente insieme $ D: -2<=x+2y<=2;-2<=x-2y<=2 $ il risultato finale è $ -e^2 $ confermate?
grazie a tutti
scusate volevo dire $-e^2/2$
Scusami ma a me viene $ e^2-e^(-2) $
Poichè allora, devi calcolare $ \int_D exp(x+2y)dxdy $
ove $ D=\{(x,y)\in RR^2|-2\leq x+2y\leq 2,-2\leq x-2y\leq 2\} $
allora ho fatto questa sostituzione
$ { ( u=x+2y ),( v=x-2y ):} $
così il dominio ti diventa $ u\in [-2,2], v\in [-2,2] $
ORA calcoliamo lo Jacobiano
$Jac= [|det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) |]^(-1)=[|det( ( 1 , 2 ),( 1 , -2 ) ) |]^(-1)=[4]^(-1)=1/4 $
Ok quindi, il nostro integrale è
$ 1/4 \int_(-2)^(2)dv \int_(-2)^(2)e^u du=1/4 \cdot(4) \cdot (e^(2)-e^(-2))=e^2-e^(-2) $
Poichè allora, devi calcolare $ \int_D exp(x+2y)dxdy $
ove $ D=\{(x,y)\in RR^2|-2\leq x+2y\leq 2,-2\leq x-2y\leq 2\} $
allora ho fatto questa sostituzione
$ { ( u=x+2y ),( v=x-2y ):} $
così il dominio ti diventa $ u\in [-2,2], v\in [-2,2] $
ORA calcoliamo lo Jacobiano
$Jac= [|det( ( \partial_x u , \partial_y u ),( \partial_x v , \partial_y v ) ) |]^(-1)=[|det( ( 1 , 2 ),( 1 , -2 ) ) |]^(-1)=[4]^(-1)=1/4 $
Ok quindi, il nostro integrale è
$ 1/4 \int_(-2)^(2)dv \int_(-2)^(2)e^u du=1/4 \cdot(4) \cdot (e^(2)-e^(-2))=e^2-e^(-2) $
grazie 21zuclo rifaccio l esercizio anche con il tuo metodo poichè io non ho fatto il cambio di variabili
"john.78":
grazie 21zuclo rifaccio l esercizio anche con il tuo metodo poichè io non ho fatto il cambio di variabili
il cambiamento di variabili è utile con domini tipo il tuo esercizio!..
ti risparmia un sacco di conti
"21zuclo":
[quote="john.78"]grazie 21zuclo rifaccio l esercizio anche con il tuo metodo poichè io non ho fatto il cambio di variabili
il cambiamento di variabili è utile con domini tipo il tuo esercizio!..
ti risparmia un sacco di conti
[/quote]vero molti meno calcoli. cmq mi permetto di farti notare che forse hai sbagliato il segno del determinante
inoltre approfitto della tua gentilezza per postare il seguenti domini:il primo$\pi<=x+y<=2\pi; 0<=x-y<=\pi/2$
il secondo$0<=x<=y^2, sqrtx<=y<=sqrt2\pi$
in entrambi i casi ho dei forti dubbi sui valori nel quale studiare l integrali ed inoltre mi domando se un cambio di variabile può essere utile e come.
grazie 1000!
"john.78":
[
vero molti meno calcoli. cmq mi permetto di farti notare che forse hai sbagliato il segno del determinante
Ne sei sicuro?
stando alla teoria, devo mettere il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana
Si ha dalla teoria questa formula (guarda sul tuo libro)
$ \int \int_g(B) f(x,y)dxdy=\int\int_B f(x(u,v),y(u,v)) \cdot |det Jac| dudv $
Bisogna metterci il valore assoluto! Controlla sul tuo libro di teoria!
il primo$\pi<=x+y<=2\pi; 0<=x-y<=\pi/2$
il secondo$0<=x<=y^2, sqrtx<=y<=sqrt2\pi$
nel primo basta che fai la sostituzione che ho fatto già prima $ { ( u=x+y ),( v=x-y ):} $
Nel secondo, dovrei vedere anche l'integrale!
"21zuclo":
[quote="john.78"][
vero molti meno calcoli. cmq mi permetto di farti notare che forse hai sbagliato il segno del determinante
Ne sei sicuro?
stando alla teoria, devo mettere il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana
Si ha dalla teoria questa formula (guarda sul tuo libro)
$ \int \int_g(B) f(x,y)dxdy=\int\int_B f(x(u,v),y(u,v)) \cdot |det Jac| dudv $
Bisogna metterci il valore assoluto! Controlla sul tuo libro di teoria!
il primo$\pi<=x+y<=2\pi; 0<=x-y<=\pi/2$
il secondo$0<=x<=y^2, sqrtx<=y<=sqrt2\pi$
nel primo basta che fai la sostituzione che ho fatto già prima $ { ( u=x+y ),( v=x-y ):} $
Nel secondo, dovrei vedere anche l'integrale![/quote]
azz....il valore assoluto!
l integrale del secondo esercizio è $\int int (seny^2)/y dxdy$
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