Integrale doppio con dominio simmetrico

[supergiox]

Salve a tutti,
ho trovato questo integrale doppio:
\( \int _{D}xy dx dy \)

avente come dominio
D:{(x,y)€ R^2 | x^2 <=y <=abs(x)}

Ho provato a risolverlo prendendo solo la parte destra del dominio (che si trova nel primo quadrante) e infine moltiplicando il risultato per due. In questo modo il risultato è 1/12.
E' corretto? Se sommassi separatamente i due integrali (quello sul dominio sinistro e sul dominio destro) il risultato sarebbe 0.

Qual è la soluzione giusta?

[supergiox]

up

[gio73]

Ciao supergiox e benvenuto sul forum, ti ricordo che è vietato dal regolamento fare up prima che siano passate 24h (nel tuo caso ne sono passate 14)
Ad ogni modo sono la persona meno indicata per aiutarti, non sono proprio una cima, posso solo ragionare con te e farti delle domande più che darti risposte, ma se ti accontenti...
Non riesco a capire ad esempio quale sia il dominio

"supergiox":
avente come dominio
D:{(x,y)€ R^2 | x^2 <=y <=abs(x)}

Mi sembra che abbiamo a che fare con la parte interna di una parabola con vertice nell'origine, ma non capisco di cosa debba esser minore o uguale la y, cosa vuo dire abs(x)? (ignoranza mia sicuramente...)

[supergiox]

Ciao e scusami per l'up! sono in ansia perché dal risultato di questo integrale dipende la mia promozione o meno all'esame di analisi...

Con abs si intende valore assoluto, quindi il dominio é composto dalle due regioni comprese tra la parabola e le due bisettrici (y=x e y=-x).
Io ho fatto l'integrale su una sola delle due regioni e poi ho moltiplicato il risultato per 2, ma mi é venuto il dubbio che i due integrali vadano sottratti e quindi il risultato sia 0.

[ithilion6]

Ciao, allora la funzione f(x,y)=xy, ha una simmetria assiale (rispetto a y) del tipo f(-x,y)=-f(x,y) e poichè il dominio di integrazione è proprio simmetrico rispetto a y l'integrale risulterà nullo...se fosse stato |xy| allora f(-x,y)=f(x,y) e i due volumi si sarebbero sommati invece di annullarsi a vicenda(geometricamente parlando)!!! poi sto dando anche io analisi, correggetemi se sbaglio xD!!!!