Integrale doppio con dominio C1-C2

[assu_flany]

Salve, sto preparando l’ esame di Analisi Matematica 2 e sono alle prese con gli integrali doppi.
Sto avendo difficoltà a risolvere questo esercizio:

$ int int_(T)1/((x^2+y^2)^(3/2)) dx dy $

con $ T=C_1-C_2 $, essendo $ C_1 $ e $ C_2 $ i cerchi di raggio 1, centrati nei punti $ (0,1) $ e $ (0,0) $

Ho pensato che fosse possibile risolverlo sia tramite il passaggio a coordinate polari, sia riscrivendo il dominio come $ T = {(x,y)in R^2:-1
Tuttavia l’utilizzo delle coordinate polari, a livello di calcolo, mi sembra la scelta più saggia per cui nel caso della circonferenza $C_1 $ risulta

$ { ( x= rho cos theta ),( y= 1+ rho sin theta ):} $

mentre per la circonferenza $C_2$ avremo

$ { ( x= rho cos theta ),( y= rho sin theta ):} $

con $ rho in [0,1], theta in [0,2pi] $ è corretto?

Il determinante della matrice Jacobiana, in entrambi i casi vale $rho$ ma quando vado ad effettuare le sostituzioni trovo difficoltà.. Ho impostato bene l’esercizio? Mi conviene risolverlo nella maniera alternativa? E se si, il dominio l’ho scritto bene?

Spero nel vostro aiuto perché sono davvero disperata
Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao flany.91,

A parte che non hai scritto il post nella stanza corretta che è Analisi matematica di base, ma casomai provvederanno gli amministratori a spostarti il post,

"flany.91":nel caso della circonferenza $C_1$ risulta
${(x = \rho cos\theta ),( y = 1 + \rho sin\theta ):} $

Questo non mi torna, innanzitutto perché si tratta di cerchi e quindi $C_1 $ ha rappresentazione cartesiana $ x^2 + (y - 1)^2 <= 1 $, perciò passando in coordinate polari si ha:

$ (\rho cos\theta)^2 + (\rho sin\theta - 1)^2 <= 1 $

$ \rho^2 cos^2\theta + \rho^2 sin^2\theta - 2 \rho sin\theta + 1 <= 1 $

$ \rho^2 - 2 \rho sin\theta <= 0 $

$\rho(\rho - 2 sin\theta) <= 0 $

[assu_flany]

Chiedo scusa per aver sbagliato sezione, spero si possa rimediare
Quello che mi chiedevo è: nel caso si voglia considerare un sistema di coordinate polari traslato tale da mandare l’origine degli assi cartesiani in un punto $ C(x_c,y_c) $, le formule di passaggio dovrebbero essere

$ { ( x=x_c+rho cos theta),( y=y_c+rho sin theta ):} $

È per questo che ho scritto che nel caso di $ C_1 $

$ { ( x=rho cos theta ),( y=1+rho sin theta):} $

Il problema è che poi andando a sostituire e cambiando gli estremi di integrazione, entrambi gli integrali (sia per $ C_1 $ che per $ C_2 $) mi danno problemi

È sbagliato il modo in cui imposto io l’esercizio forse?

[pilloeffe]

"flany.91":È sbagliato il modo in cui imposto io l’esercizio forse?

Sì, perché devi scegliere un sistema di coordinate polari e poi riscrivere $T$ sulla base del sistema che hai scelto: quello che proprio non devi fare è optare per un sistema di coordinate polari per $C_1$ e per un altro diverso per $C_2$...
Visto il denominatore della funzione integranda, opterei decisamente per il sistema di coordinate polari con polo $O(0,0)$:

${(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):} $

[assu_flany]

Ok, adesso ho capito!
Ti ringrazio tantissimo