Integrale doppio con cordinate cilindriche
Ho un problema con il calcolo finale di questo integrale doppio:
$\int int x/y * log(sqrt(x^2+y^2))dxdy$ con $D={(x,y) in RR^2: 2 <=x^2+y^2<=4; 0<=x<=1/(sqrt3)*y}$
Il mio dominio è una corona circolare con la più piccola di raggio $sqrt2$ e la più grande di raggio $2$ inclusa nel primo quadrante.
Intervengo con cordinate cilindriche, e vi chiedo : gli estremi di integrazione saranno $sqrt2<=\rho<=2$ e $0<=\theta<=\pi/3$ ???
Se si continuo con i miei passaggi...e l'integrale si semplifica a ciò: $\int int cos\theta/sin\theta * log\rho*\rho d\rhod\theta$
Ecco il mio problema:
Tralasciando ora l'integrale in $d\rho$ che si fa per parti ed esce un numero....quello in $d\theta$ viene $int_{0}^{\pi/3} cos\theta/sin\theta d\theta$ che è alquanto immediato e trovo che viene $log|sin\theta|$ che in $\pi/3$ dà un numero ma in 0 ???
Il sin è zero ma il log di zero non esiste...come devo comportarmi in questo caso ?? Posso mai sottrarre un qualcosa che non esiste ad un numero ?? Per caso ho sbagliato gli estremi ??
Dmanda banale ma che blocca tutte le mie idee...Grazie !
$\int int x/y * log(sqrt(x^2+y^2))dxdy$ con $D={(x,y) in RR^2: 2 <=x^2+y^2<=4; 0<=x<=1/(sqrt3)*y}$
Il mio dominio è una corona circolare con la più piccola di raggio $sqrt2$ e la più grande di raggio $2$ inclusa nel primo quadrante.
Intervengo con cordinate cilindriche, e vi chiedo : gli estremi di integrazione saranno $sqrt2<=\rho<=2$ e $0<=\theta<=\pi/3$ ???
Se si continuo con i miei passaggi...e l'integrale si semplifica a ciò: $\int int cos\theta/sin\theta * log\rho*\rho d\rhod\theta$
Ecco il mio problema:
Tralasciando ora l'integrale in $d\rho$ che si fa per parti ed esce un numero....quello in $d\theta$ viene $int_{0}^{\pi/3} cos\theta/sin\theta d\theta$ che è alquanto immediato e trovo che viene $log|sin\theta|$ che in $\pi/3$ dà un numero ma in 0 ???
Il sin è zero ma il log di zero non esiste...come devo comportarmi in questo caso ?? Posso mai sottrarre un qualcosa che non esiste ad un numero ?? Per caso ho sbagliato gli estremi ??
Dmanda banale ma che blocca tutte le mie idee...Grazie !
Risposte
Gli estremi di integrazione sono corretti...l'integrazione pure...mmm non so cosa non possa andare nel tuo ragionamento...
devi calcolare $lim_(theta to 0) log|sin(theta)|$
se ci fai caso la funzione non è definita sull'asse $x$ quindi è corretto che venga un integrale improprio integrando su un insieme chiuso
se ci fai caso la funzione non è definita sull'asse $x$ quindi è corretto che venga un integrale improprio integrando su un insieme chiuso
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo