Integrale doppio con coordinate polari traslate

[corsara73]

Ciao a tutti ho bisogno di una mano per risolvere qs integrale doppio
$\int int arctg(y/x) dxdy$
su un domino che è una semicirconferenza di centro (0,1) e raggio 1 con y>0.
sono passata in coordinate polari
x=1+ρcosθ
Y=senθ
con 0<ρ<1 e 0<θ<π

per cui ho il seguente integrale
$\int int arctg(1/(1+ρcosθ)*ρsenθ)ρ dρdθ$
non ho idea di quale sostituzione effettuare ne ho provate diverse ma non giungo a nulla.
Mi dareste qualche dritta?

[Ernesto011]

Se è una semicirconferenza allora dovrebbe essere $ 0

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[corsara73]

si è tra 0 e π ma va traslata la x non la y se devo far coincidere il centro della cfr con (0,1)

[phaerrax]

No, ha ragione Ernesto01, se il centro è in generale $(x_0,y_0)$ e vuoi centrare lì le tue coordinate, devi fare in modo che $x-x_0=\rho\cos\theta$ e $y-y_0=\rho\sin\theta$; nel tuo caso $(x_0,y_0)=(0,1)$ perciò è $x=\rho\cos\theta$ e $y=1+\rho\sin\theta$.

Però, se fosse una semicirconferenza, così ti verrebbe un cerchio intero, dato che sarebbe tutto compreso nel semipiano ${x>0}$ a meno di un punto. Sicuro che non sia $(1,0)$ il centro?

[21zuclo]

@corsara73
quello che sti stanno dicendo è che $ \int_(A) \arctan(y/x)dxdy $

ove $ A=\{(x,y)\in RR^2|x^2+(y-1)^2\leq1,y\geq0\} $

ok quindi passo in coordinate polari traslate nella y $ { ( x=\rho\cos\theta ),( y=1+\rho\sin\theta ):} $

con $ det Jac=\rho $

ora $ { ( 0\leq \rho\leq 1 ),( 0\leq \theta\leq \pi ):} $

quindi si ha

$ \int_(0)^(\pi)d\theta \int_(0)^(1)\rho\arctan((1+\rho \sin\theta)/(\rho \cos\theta))d\rho $

il problema è che pure io non saprei come risolvere quest'integrale..

si potrebbe integrare prima in $\theta$ e poi in $\rho$ però non so bene..

[phaerrax]

Infatti io non integrerei in questo modo.
Se scegliamo le coordinate polari centrate nell'origine, \(\arctan(\frac{y}{x})=\theta\) e diventa semplicissimo. Va solo aggiustato l'insieme di integrazione, ma non è difficile.

Il punto è che scritto così si ha un integrale improprio, perché nel dominio di integrazione c'è anche la retta $x=0$...
Perciò penso che corsara73 abbia sbagliato a scrivere, almeno spero. Per me l'insieme di integrazione è $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ (x-1)^2+y^2\le 1, y>0\}$, no?
Così non ci sono singolarità su un'intera retta, ma solo in un punto dell'insieme (che tra l'altro è anche sul bordo).

[21zuclo]

"phaerrax":
Perciò penso che corsara73 abbia sbagliato a scrivere, almeno spero. Per me l'insieme di integrazione è $\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ (x-1)^2+y^2\le 1, y>0\}$, no?

se così fosse..diventerebbe $ { ( x=1+\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

$ det Jac=\rho $ e $ \rho\in[0,1], \theta\in[0,\pi] $

quindi
$ \int_(0)^(1)d\rho \int_(0)^(\pi) \rho \arctan((\rho\sintheta)/(1+\rho\cos\theta))d\theta $

però avrei lo stesso problema.. come lo integro?

stavo pensando alla sostituzione $ 1+\rho\cos\theta=u $ (integrando in $d\theta$) però boh non so..

[phaerrax]

No, come dicevo sarebbe preferibile scegliere le polari $(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$.
A me verrebbe da dire, di primo acchito, che l'insieme diventa $\{\theta\in[0,\pi/2],\ 0\le\rho\le2\cos\theta\}$, ma non riesco a dimostrarlo.

[21zuclo]

"phaerrax":No, come dicevo sarebbe preferibile scegliere le polari $(x,y)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$.
A me verrebbe da dire, di primo acchito, che l'insieme diventa $\{\theta\in[0,\pi/2],\ 0\le\rho\le2\cos\theta\}$, ma non riesco a dimostrarlo.

se $\rho \in [0,2\cos\theta]$ allora si ha $ 2\cos\theta\geq0\to \theta \in [-\pi/2,\pi/2] $

considerando che $y\geq 0$ si ha $\theta\in[0,\pi/2]$

[phaerrax]

Bene, sembra reggere
Il punto è che quel $\rho\le 2\cos\theta$ l'ho un po' tirato fuori dal nulla, valutandolo solo in alcuni punti, quindi non ne sarei sicurissimo.

[21zuclo]

"phaerrax":Bene, sembra reggere
Il punto è che quel $\rho\le 2\cos\theta$ l'ho un po' tirato fuori dal nulla, valutandolo solo in alcuni punti, quindi non ne sarei sicurissimo.

da qui $ (x-1)^2+y^2\leq 1 $

con $ { ( x=\rho\cos\theta ),( y=\rho\sin\theta ):} $

si ha $ \rho^2\cos^2\theta+1-2\rho\cos\theta+\rho^2\sin\theta\leq 1\to \rho^2\leq 2\rho\cos\theta $

quindi si ha che $ \rho \in[0,2\cos\theta] $

[corsara73]

Ho erroneamente scritto con centro in (0,1) il centro era in (1,0)

[corsara73]

Pardon il centro era in (1,0)

[phaerrax]

Giusto, 21zuclo, avevo erroneamente scritto $\rho^2\cos^2\theta+\rho^2sin^2\theta=1$ ottenendo così $\rho\ge\frac1{2\cos\theta}$ che non aveva assolutamente senso.

Comunque, menomale che corsara73 ha confermato l'errore del centro altrimenti sarebbe stato tutto per niente!
Dunque, otteniamo l'integrale
\[
\int_0^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\theta\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\theta.
\]
Direi che è piuttosto semplice così, no?

[corsara73]

Si grazie, io ho, con molta fatica, integrato per parti per giungere allo stesso risultato. Grazie delle dritte

[21zuclo]

"corsara73":Si grazie, io ho, con molta fatica, integrato per parti per giungere allo stesso risultato. Grazie delle dritte

bé ma $ \arctan(\tan(\theta))=\theta $

per questa proprietà $ f^(-1)(f(x))=x $

quindi in definitiva l'integrale è

$ \int_(0)^(\pi/2)d\theta\int_(0)^(2\cos\theta)\rho\cdot\theta d\rho= \int_(0)^(\pi/2)\thetad\theta \int_(0)^(2\cos\theta)\rho d\rho =...$