Integrale doppio con coordinate polari e circonferenza
Buongiorno a tutti! Ho problemi nel risolvere questo integrale doppio:
$ int int_(Omega) sqrt(x^2+y^2) dx dy $ , dove \( \Omega = \{ (x,y) \in Re^2 : y^2+6y+x^2≤0\} \)
Ho particolare problemi nel semplificare il dominio utilizzando il cambio di variabili in coordinate polari, avendo nel dominio originario solo una circonferenza.
Allora, procedo:
noto che il dominio non è normale né rispetto x, né rispetto y. Applico il cambio di variabili in coordinate polari:
\( \begin{cases} x=x_0+\rho \cos\theta \\ y=y_0 +\rho\sin\theta \end{cases} \)
con \( (x_0,y_0)=(0,0) \) .
Sostituendo avrò:
\( \rho^2 \cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta+6\rho\sin\theta≤0 \) , fino ad arrivare alla forma
\( \rho(\rho+6\sin\theta)≤0 \) , quindi \( -6\sin\theta≤\rho≤0 \) , che saranno i miei estremi d'integrazione per la variabile \( \rho \) . Per quanto riguarda \( \theta \) invece? ho da fare restrizioni particolari? O considero l'intervallo \( \theta\in [0,2\pi) \) ?
Grazie anticipatamente!
$ int int_(Omega) sqrt(x^2+y^2) dx dy $ , dove \( \Omega = \{ (x,y) \in Re^2 : y^2+6y+x^2≤0\} \)
Ho particolare problemi nel semplificare il dominio utilizzando il cambio di variabili in coordinate polari, avendo nel dominio originario solo una circonferenza.
Allora, procedo:
noto che il dominio non è normale né rispetto x, né rispetto y. Applico il cambio di variabili in coordinate polari:
\( \begin{cases} x=x_0+\rho \cos\theta \\ y=y_0 +\rho\sin\theta \end{cases} \)
con \( (x_0,y_0)=(0,0) \) .
Sostituendo avrò:
\( \rho^2 \cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta+6\rho\sin\theta≤0 \) , fino ad arrivare alla forma
\( \rho(\rho+6\sin\theta)≤0 \) , quindi \( -6\sin\theta≤\rho≤0 \) , che saranno i miei estremi d'integrazione per la variabile \( \rho \) . Per quanto riguarda \( \theta \) invece? ho da fare restrizioni particolari? O considero l'intervallo \( \theta\in [0,2\pi) \) ?
Grazie anticipatamente!
Risposte
"abbellone":
Buongiorno a tutti! Ho problemi nel risolvere questo integrale doppio:
$ int int_(Omega) sqrt(x^2+y^2) dx dy $ , dove \( \Omega = \{ (x,y) \in Re^2 : y^2+6y+x^2≤0\} \)
Ho particolare problemi nel semplificare il dominio utilizzando il cambio di variabili in coordinate polari, avendo nel dominio originario solo una circonferenza.
Allora, procedo:
noto che il dominio non è normale né rispetto x, né rispetto y. Applico il cambio di variabili in coordinate polari:
\( \begin{cases} x=x_0+\rho \cos\theta \\ y=y_0 +\rho\sin\theta \end{cases} \)
con \( (x_0,y_0)=(0,0) \) .
Sostituendo avrò:
\( \rho^2 \cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta+6\rho\sin\theta≤0 \) , fino ad arrivare alla forma
\( \rho(\rho+6\sin\theta)≤0 \) , quindi \( -6\sin\theta≤\rho≤0 \) , che saranno i miei estremi d'integrazione per la variabile \( \rho \) . Per quanto riguarda \( \theta \) invece? ho da fare restrizioni particolari? O considero l'intervallo \( \theta\in [0,2\pi) \) ?
Grazie anticipatamente!
no, non va bene. Nè l'intervallo di $rho$ né quello di $theta$
1) $rho$ per definizione è $>=0$
Ci ho fatto caso anche io, ho pensato che forse per opportuni valori di( \theta ) l'intervallo sarebbe stato valido....
Altrimenti come potrei agire?
Altrimenti come potrei agire?
"abbellone":
Ci ho fatto caso anche io, ho pensato che forse per opportuni valori di( \theta ) l'intervallo sarebbe stato valido....
Altrimenti come potrei agire?
ora ti spiego:
hai fatto tutto bene...manca solo un particolare alla soluzione della disequazione che hai trovato:
sei arrivato a: $rho(rho+6sintheta)<=0$ e quindi ovviamente $(rho+6sintheta)<=0$, essendo $rho>=0$ per definizione.
Affinché la disuguaglianza abbia senso, dobbiamo porre $sintheta<0$ ovvero $pi
${ ( rho<-6sintheta ),( sintheta<0),( rho>0 ):}$
ovvero:
$int_(0)^(-6sintheta)int_(pi)^(2pi) f(rhocostheta, rho sintheta)rhod rho d theta$
t'è capì??????
l'errore è abbastanza comune ed è il seguente: quando passi in coordinate polari non hai più il grafico della circonferenza di partenza, quindi non è affatto detto che tu debba integrare su tutto l'angolo giro...avrai un nuovo piano, per l'appunto polare, con assi in $theta$ e $rho$. Una volta definite per bene tutte le disequazioni del problema occorre fare un minimo di attenzione affinché esse abbiano senso (e non facciano senso)...per il resto ok
"tommik":
[quote="abbellone"]Ci ho fatto caso anche io, ho pensato che forse per opportuni valori di( \theta ) l'intervallo sarebbe stato valido....
Altrimenti come potrei agire?
ora ti spiego:
hai fatto tutto bene...manca solo un particolare alla soluzione della disequazione che hai trovato:
sei arrivato a: $rho(rho+6sintheta)<=0$ e quindi ovviamente $(rho+6sintheta)<=0$, essendo $rho>=0$ per definizione.
Affinché la disuguaglianza abbia senso, dobbiamo porre $sintheta<0$ ovvero $pi
${ ( rho<-6sintheta ),( sintheta<0),( rho>0 ):}$
ovvero:
$int_(0)^(-6sintheta)int_(pi)^(2pi) f(rho, theta)rhod rho d theta$
t'è capì??????
l'errore è abbastanza comune ed è il seguente: quando passi in coordinate polari non hai più il grafico della circonferenza di partenza, quindi non è affatto detto che devi integrare su tutto l'angolo giro...avrai un nuovo piano, per l'appunto polare, con assi in $theta$ e $rho$. Una volta definite per bene tutte le disequazioni del problema occorre fare un minimo di attenzione...per il resto ok
[/quote]Perfetto, grazie mille!!
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