Integrale doppio con coordinate polari: come continuare?
Salve a tutti,
Potreste aiutarmi con il seguente esercizio?
Siano $D_1$ il settore del disco di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel secondo quadrante, $D_2$ il triangolo di vertici (-1, 0), (0,1) e (0,0), e D=$D_1$ \ $D_2$. Calcolare [tex]\displaystyle \iint_D xy \: dxdy[/tex]
Io ho fatto così
Dopo aver disegnato il dominio:
ho fatto il cambiamento in coordinate polari
[tex]\left\lbrace\begin{array}{lr}
x = \rho\cos\theta & \\
y = \rho\sin\theta & \\
|J|=\rho \\
\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi & \\
\dfrac{1}{\sin\theta - \cos\theta} \leq \rho \leq 1 & \\
\end{array} \right.[/tex]
Quest'ultimo ottenuto dalla retta y=x+1 che interseca il cerchio nei punti (-1,0) e (1,0).
[tex]y=x+1 \Rightarrow \rho\sin\theta=\rho\cos\theta+1 \Rightarrow \rho=\frac{1}{\sin\theta -\cos\theta}[/tex]
Sostituendo si ha
[tex]\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}\int_{\frac{1}{\sin\theta - \cos\theta} }^1 \; \rho^3 \cos \theta \; \sin\theta \: d\rho d\theta=\frac{1}{4}\underbrace{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \theta \; \sin\theta \: d\theta}_{\mbox{A}} - \frac{1}{4} \underbrace{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \theta \; \sin\theta \; \frac{1}{\sin\theta -\cos\theta} \:d\theta}_{\mbox{B}}[/tex]
L'integrale A si risolve mettendo una costante 2 davanti, in modo tale che diventi: [tex]\frac{1}{8}\left[ \sin2\theta \right]_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} = 0[/tex]
Il B come lo risolvo? Ho provato per sostituzione [tex]\tan\frac{\theta }{2}=t[/tex] da cui
[tex]\cos\theta= \frac{1-t^2}{1+t^2}\,;\: \sin\theta=\frac{2}{1+t^2}; \: \; d\theta=\frac{2}{1+t^2}dt; \:\: \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)=+\infty; \: \tan\left( \frac{\pi}{4}\right)[/tex]
come suggerito dal libro per un esercizio molto simile, ma anche lì non so come continuare...
Avreste qualche suggerimento da proporre?
Grazie.
Potreste aiutarmi con il seguente esercizio?
Siano $D_1$ il settore del disco di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel secondo quadrante, $D_2$ il triangolo di vertici (-1, 0), (0,1) e (0,0), e D=$D_1$ \ $D_2$. Calcolare [tex]\displaystyle \iint_D xy \: dxdy[/tex]
Io ho fatto così
Dopo aver disegnato il dominio:
ho fatto il cambiamento in coordinate polari
[tex]\left\lbrace\begin{array}{lr}
x = \rho\cos\theta & \\
y = \rho\sin\theta & \\
|J|=\rho \\
\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi & \\
\dfrac{1}{\sin\theta - \cos\theta} \leq \rho \leq 1 & \\
\end{array} \right.[/tex]
Quest'ultimo ottenuto dalla retta y=x+1 che interseca il cerchio nei punti (-1,0) e (1,0).
[tex]y=x+1 \Rightarrow \rho\sin\theta=\rho\cos\theta+1 \Rightarrow \rho=\frac{1}{\sin\theta -\cos\theta}[/tex]
Sostituendo si ha
[tex]\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2} }^{\pi}\int_{\frac{1}{\sin\theta - \cos\theta} }^1 \; \rho^3 \cos \theta \; \sin\theta \: d\rho d\theta=\frac{1}{4}\underbrace{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \theta \; \sin\theta \: d\theta}_{\mbox{A}} - \frac{1}{4} \underbrace{ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \theta \; \sin\theta \; \frac{1}{\sin\theta -\cos\theta} \:d\theta}_{\mbox{B}}[/tex]
L'integrale A si risolve mettendo una costante 2 davanti, in modo tale che diventi: [tex]\frac{1}{8}\left[ \sin2\theta \right]_{\pi}^{\frac{\pi}{2}} = 0[/tex]
Il B come lo risolvo? Ho provato per sostituzione [tex]\tan\frac{\theta }{2}=t[/tex] da cui
[tex]\cos\theta= \frac{1-t^2}{1+t^2}\,;\: \sin\theta=\frac{2}{1+t^2}; \: \; d\theta=\frac{2}{1+t^2}dt; \:\: \tan\left(\frac{\pi}{2}\right)=+\infty; \: \tan\left( \frac{\pi}{4}\right)[/tex]
come suggerito dal libro per un esercizio molto simile, ma anche lì non so come continuare...
Avreste qualche suggerimento da proporre?
Grazie.
Risposte
Il risultato finale è $-1/12$
$sint = (2t)/(t^2+1)$
$tan((\pi)/4)=1$
poi devi vedere di semplificare l'integrale in dt e vedi che esce poi rivedi il primo integrale mi sembra sbagliato
$tan((\pi)/4)=1$
poi devi vedere di semplificare l'integrale in dt e vedi che esce poi rivedi il primo integrale mi sembra sbagliato
"anticristo":
$sint = (2t)/(t^2+1)$
Si, ho scritto male la formula sul computer ma sul foglio di carta era corretto (ma non è [tex]\sin\theta=\frac{2t}{t^2+1}[/tex]?)
"anticristo":
$tan((\pi)/4)=1$
Anche qui, ho scritto bene sul foglio di carta ma ho dimenticato di scrivere il risultato sul computer.
"anticristo":
poi devi vedere di semplificare l'integrale in dt e vedi che esce poi rivedi il primo integrale mi sembra sbagliato
È proprio lì che non so andare avanti.
[tex]\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1-t^2}{1+t^2} \; \frac{2t}{1+t^2} \; \frac{1}{ \frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} }\; \frac{ 2}{1+t^2}\: dt= \dislplaystyle \int_1^{+\infty}\frac{4t(1-t^2)}{(1+t^2)^2(t-\sqrt{2} +1 )(t +\sqrt{2} +1)}\:dt[/tex]
Il primo integrale è sbagliato? Dove precisamente?
Il risultato viene in un baleno se si procede con le coordinate cartesiane con $-1 <= x<=0$ e $x+1 <=y <= \sqrt{1-x}$ però io voglio imparare a farlo con le coordinate polari
forse hai sbagliato a scriverlo il primo; il secondo credo lo devi fare con i fratti semplici
Quale sarebbe il primo integrale?
quello che hai chiamato A forse hai sbagliato a scrivere il simbolo di
oppure non hai integrato hai solo sostituito con sen2t.
mi sembra e sottolineo mi sembra che il risultato finale di A è $-1/8= 1/16 [-cos2t]$ tra $\pi /2 e \pi $
vedi un pò
oppure non hai integrato hai solo sostituito con sen2t.
mi sembra e sottolineo mi sembra che il risultato finale di A è $-1/8= 1/16 [-cos2t]$ tra $\pi /2 e \pi $
vedi un pò
Si hai ragione...
[tex]\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos\theta\sin\theta \:d\theta=-\frac{1}{2}\left[ \cos^2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =-\frac{1}{2}[/tex]
Quindi viene $1/4 (- 1/2)=-1/8$.
Ok, primo errore corretto. Ora B?
[tex]\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos\theta\sin\theta \:d\theta=-\frac{1}{2}\left[ \cos^2\theta \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =-\frac{1}{2}[/tex]
Quindi viene $1/4 (- 1/2)=-1/8$.
Ok, primo errore corretto. Ora B?
ma dove hai preso questo integrale?lo devi fare per forza in coordinate polari???mi sembra che ti viene un sistema bello lungo (6equazioni in 6incognite) se vuoi scomporre in fratti semplici..vedi un pò
Era un testo d'esame e no, non devo farlo per forza con le coordinate polari (in coordinate cartesiane infatti mi è venuto subito), ma vorrei imparare a farli in coordinate polari, non appena sia possibile.
ma in questo esercizio sono decisamente scomode da usare le polari, potresti imparare ad esarle dove servono davvero.. 
se l'insieme si trovava nel primo quadrante si poteva fare facilmente anche in coordinate polari...sul mio libro c'è questo caso e non ti viene un integrale così brutto. comunque si può fare se ti vuoi risolvere il sistema...
Scusa quale sistema?
per dividere in fratti semplici
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