Integrale doppio con coordinate polari
Ciao a tutti , ho dei problemi con questo integrale : $int_{\Omega}=xy dxdy$ con $\Omega = {(x,y)\in R^2 : x^2+y^2<1 , x^2+y^2 <2x , y>0}$ Il mio problema è trovare il "nuovo dominio" in coordinate polari.
Comunque io ho agito così : ho disegnato il dominio e risulta l'intersezione tra due circonferenze di raggio 1 , rispettivamente di centro $(0,0)$ e $(1,0)$ ed ho considerato solo la parte $ y>0$ .
Una volta giunto qua è suggerito di proseguire in coordinate polari , quindi devo trovare il nuovo dominio nelle variabili $(\rho,\theta)$ e sapendo che la parametrizzazione è $x=\rho cos\theta , y=\rho sen\theta$ ho riscritto in poche parole il dominio di prima sostituendo questa parametrizzazione , ottenendo :
$\Omega' = {(\rho,\theta)\in R^2 : \rho^2<1 , \rho^2 <2\rho \cos\theta , \rho sen\theta>0}$ :
1) dalla prima condizione ottengo $\rho <1$ (-1 non è compreso nel dominio iniziale) ;
2) dalla seconda condizione ottengo $ \rho(\rho -2cos\theta)<0$-->$rho<0 $e $rho <2cos\theta$ PERO' HO PROBLEMI NEL TROVARE $theta$ !
3) dalla terza condizione ricavo $rho>0$ e $0<\theta<\pi$.
Il mio problema è trovare il dominio in coordinare polari e "unire" i pezzi ; vi dico che il dominio esatto è : $0
Comunque io ho agito così : ho disegnato il dominio e risulta l'intersezione tra due circonferenze di raggio 1 , rispettivamente di centro $(0,0)$ e $(1,0)$ ed ho considerato solo la parte $ y>0$ .
Una volta giunto qua è suggerito di proseguire in coordinate polari , quindi devo trovare il nuovo dominio nelle variabili $(\rho,\theta)$ e sapendo che la parametrizzazione è $x=\rho cos\theta , y=\rho sen\theta$ ho riscritto in poche parole il dominio di prima sostituendo questa parametrizzazione , ottenendo :
$\Omega' = {(\rho,\theta)\in R^2 : \rho^2<1 , \rho^2 <2\rho \cos\theta , \rho sen\theta>0}$ :
1) dalla prima condizione ottengo $\rho <1$ (-1 non è compreso nel dominio iniziale) ;
2) dalla seconda condizione ottengo $ \rho(\rho -2cos\theta)<0$-->$rho<0 $e $rho <2cos\theta$ PERO' HO PROBLEMI NEL TROVARE $theta$ !
3) dalla terza condizione ricavo $rho>0$ e $0<\theta<\pi$.
Il mio problema è trovare il dominio in coordinare polari e "unire" i pezzi ; vi dico che il dominio esatto è : $0
Risposte
Ricorda che $\rho$ è sempre positivo per definizione. Dunque
$\rho^2<1\to (\rho+1)(\rho-1)<0\to \rho-1<0$. La condizione $x^2+y^2<2x$ esclude l'origine quindi $0<\rho<1$. Dall'ultima condizione si ottiene
$sin\theta>0\to 0<\theta <\pi$, tuttavia da $\rho<2cos\theta$ otteniamo in particolare che $cos\theta >0$ quindi escludiamo una parte del dominio ottenuto, tenendo solo $0<\theta<\pi/2$.
Paola
$\rho^2<1\to (\rho+1)(\rho-1)<0\to \rho-1<0$. La condizione $x^2+y^2<2x$ esclude l'origine quindi $0<\rho<1$. Dall'ultima condizione si ottiene
$sin\theta>0\to 0<\theta <\pi$, tuttavia da $\rho<2cos\theta$ otteniamo in particolare che $cos\theta >0$ quindi escludiamo una parte del dominio ottenuto, tenendo solo $0<\theta<\pi/2$.
Paola
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