Integrale Doppio con coordinate polari
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo integrale doppio $\int int (xy) / (x^2 +y^2) dxdy$ con il seguente dominio di integrazione D=$\{(16<= x^2+y^2<=32),(2sqrt(2) <= x <= sqrt 3 y):}$ .
Graficando il dominio esso è praticamente descritto dallo spazio che separa le due circonferenze e delimitato dalle due rette, ho quindi deciso di passare a coordinate polari, sfruttando la geometria dei triangoli ho ricavato che $\theta$ varia da $30°$ a $60° $, mentre $\rho$ è compreso tra $ 4$ e $sqrt(32)$. Attuando la trasformazione sulla funzione da integrare ottengo $\int_{rho=4}^{sqrt(32)} \int _{\theta =30°}^{60°} rhocos \thetasin\thetad\rhod\theta$. Risolvendo quest'integrale ottengo che l'area è pari a 2, il testo dell'esercizio però mi fornisce come risultato 3- 2log2
.
Dato che sono quasi sicuro che il processo risolutivo dell'integrale sia giusto, ho pensato che magari sto sbagliando nell'impostazione del problema, però non riesco a capire dove
Qualcuno di voi mi sà dire dov'è che sbaglio? Grazie
Graficando il dominio esso è praticamente descritto dallo spazio che separa le due circonferenze e delimitato dalle due rette, ho quindi deciso di passare a coordinate polari, sfruttando la geometria dei triangoli ho ricavato che $\theta$ varia da $30°$ a $60° $, mentre $\rho$ è compreso tra $ 4$ e $sqrt(32)$. Attuando la trasformazione sulla funzione da integrare ottengo $\int_{rho=4}^{sqrt(32)} \int _{\theta =30°}^{60°} rhocos \thetasin\thetad\rhod\theta$. Risolvendo quest'integrale ottengo che l'area è pari a 2, il testo dell'esercizio però mi fornisce come risultato 3- 2log2
.Dato che sono quasi sicuro che il processo risolutivo dell'integrale sia giusto, ho pensato che magari sto sbagliando nell'impostazione del problema, però non riesco a capire dove
Qualcuno di voi mi sà dire dov'è che sbaglio? Grazie
Risposte
Se ho visto bene il problema, così facendo lasci fuori uno spicchietto. Infatti la parte superiore del tuo dominio (che è un pezzo di corona circolare) non è delimitato dalla retta $y = sqrt(3) x$...
Potresti integrare la funzione su tutta la corona circolare che sta nel primo quadrante e poi sottrarre i pezzi "in più", che sono:
\[\displaystyle D_1 = \{ \;\;\theta \in [0, \pi/6] \;\;\;\;e\;\;\;\; \rho \in [4 , 4 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
\[\displaystyle D_2 = \{ \;\; \sqrt{ 16- x^2 } \le y \le \sqrt{32- x^2}\;\;\;\;e\;\;\;\; x \in [0 , 2 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
Se non ho fatto male i calcoli...
\[\displaystyle D_1 = \{ \;\;\theta \in [0, \pi/6] \;\;\;\;e\;\;\;\; \rho \in [4 , 4 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
\[\displaystyle D_2 = \{ \;\; \sqrt{ 16- x^2 } \le y \le \sqrt{32- x^2}\;\;\;\;e\;\;\;\; x \in [0 , 2 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
Se non ho fatto male i calcoli...
"Seneca":
Potresti integrare la funzione su tutta la corona circolare che sta nel primo quadrante e poi sottrarre i pezzi "in più", che sono:
\[\displaystyle D_1 = \{ \;\;\theta \in [0, \pi/6] \;\;\;\;e\;\;\;\; \rho \in [4 , 4 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
\[\displaystyle D_2 = \{ \;\; \sqrt{ 16- x^2 } \le y \le \sqrt{32- x^2}\;\;\;\;e\;\;\;\; x \in [0 , 2 \sqrt{2} ]\;\; \} \]
Se non ho fatto male i calcoli...
aaah ok ho capito, ora provo a farlo, grazie dell'aiuto
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