Integrale doppio con coordinate polari
Salve a tutti devo verificare il seguente esercizio:
Sia $B$ la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Verificare che risulta:
$int int_B (x^2)*e^-(x^2+y^2) dx dy = (\pi*(e-1))/(4e)$
ora posto $x=\rhocos\theta$ e $y=\rhosen\theta$, ottengo infine il seguente integrale:
$int_0^1dp*int_0^(2\pi) \rho^3((cos\theta)^2)e^(-\rho^2) d\rhod\theta$
la cui soluzione mi viene $-\pi/2$
Infatti l'integrale di $int_0^(2\pi) (cos\theta)^2 d\theta$ mi risulta essere uguale $\pi$ mentre $int_0^1 \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho$ mi risulta essere $-1/2$
non riesco a capire dove sto sbagliando.
Qualche suggerimento?
Emanuele
Sia $B$ la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Verificare che risulta:
$int int_B (x^2)*e^-(x^2+y^2) dx dy = (\pi*(e-1))/(4e)$
ora posto $x=\rhocos\theta$ e $y=\rhosen\theta$, ottengo infine il seguente integrale:
$int_0^1dp*int_0^(2\pi) \rho^3((cos\theta)^2)e^(-\rho^2) d\rhod\theta$
la cui soluzione mi viene $-\pi/2$
Infatti l'integrale di $int_0^(2\pi) (cos\theta)^2 d\theta$ mi risulta essere uguale $\pi$ mentre $int_0^1 \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho$ mi risulta essere $-1/2$
non riesco a capire dove sto sbagliando.
Qualche suggerimento?
Emanuele
Risposte
"emanuele78":
Infatti l'integrale di $int_0^(2\pi) (cos\theta)^2 d\theta$ mi risulta essere uguale $\pi$ mentre $int_0^1 \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho$ mi risulta essere $-1/2$
è sbagliato l'integrale con $rho$:
$int \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho = int \rho^2 * rho e^(-\rho^2) d\rho$
e con calma lo fai per parti derivando $rho ^2$ e integrando $rho e^(-\rho^2)$ ...
"neri.p":
[quote="emanuele78"]
Infatti l'integrale di $int_0^(2\pi) (cos\theta)^2 d\theta$ mi risulta essere uguale $\pi$ mentre $int_0^1 \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho$ mi risulta essere $-1/2$
è sbagliato l'integrale con $rho$:
$int \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho = int \rho^2 * rho e^(-\rho^2) d\rho$
e con calma lo fai per parti derivando $rho ^2$ e integrando $rho e^(-\rho^2)$ ...[/quote]
o.O
è giusto con l'esponente 3...
da cartesiani a polari: $dxdy = \rho d\rho d\theta$. ed un $\rho^2$ lo tira fuori dalla $x^2$; quindi: $\rho^3$.
più che altro c'è un attimo di confusione nella scrittura: $int_0^1dp*int_0^(2\pi) \rho^3((cos\theta)^2)e^(-\rho^2) d\rhod\theta$
dove appaiono $dp$, $d\rho$ e $d\theta$
semmai: $\int_0^(2\pi) d\theta [cos^2 \theta] int_0^1d\rho [\rho^3e^(-\rho^2)]$
ma sarà un errore di scrittura.
ema, probabilmente ti perdi qualcosa nel calcolare l'integrale in $d\rho$. l'integrale sull'angolo è giusto. infatti:
il cos^2 ed il sin^2 sottendono la "stessa area" tra 0 e 2pi. quindi:
$\int_0^{2\pi} cos^2 \theta d\theta = \int_0^{2\pi} sin^2 \theta d\theta $
ma vale anche:
$\int_0^{2\pi} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) d\theta = \int_0^{2\pi} 1 d\theta $
e mettendo insieme le due cose:
$\int_0^{2\pi} cos^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 d\theta = \pi $
"Ziel van brand":
[quote="neri.p"][quote="emanuele78"]
Infatti l'integrale di $int_0^(2\pi) (cos\theta)^2 d\theta$ mi risulta essere uguale $\pi$ mentre $int_0^1 \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho$ mi risulta essere $-1/2$
è sbagliato l'integrale con $rho$:
$int \rho^3*e^(-\rho^2) d\rho = int \rho^2 * rho e^(-\rho^2) d\rho$
e con calma lo fai per parti derivando $rho ^2$ e integrando $rho e^(-\rho^2)$ ...[/quote]
o.O
è giusto con l'esponente 3...
da cartesiani a polari: $dxdy = \rho d\rho d\theta$. ed un $\rho^2$ lo tira fuori dalla $x^2$; quindi: $\rho^3$.
più che altro c'è un attimo di confusione nella scrittura: $int_0^1dp*int_0^(2\pi) \rho^3((cos\theta)^2)e^(-\rho^2) d\rhod\theta$
dove appaiono $dp$, $d\rho$ e $d\theta$
semmai: $\int_0^(2\pi) d\theta [cos^2 \theta] int_0^1d\rho [\rho^3e^(-\rho^2)]$
ma sarà un errore di scrittura.
ema, probabilmente ti perdi qualcosa nel calcolare l'integrale in $d\rho$. l'integrale sull'angolo è giusto. infatti:
il cos^2 ed il sin^2 sottendono la "stessa area" tra 0 e 2pi. quindi:
$\int_0^{2\pi} cos^2 \theta d\theta = \int_0^{2\pi} sin^2 \theta d\theta $
ma vale anche:
$\int_0^{2\pi} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) d\theta = \int_0^{2\pi} 1 d\theta $
e mettendo insieme le due cose:
$\int_0^{2\pi} cos^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (cos^2 \theta + sin^2 \theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 1 d\theta = \pi $[/quote]
Barzelletta Time: Ziel si vede che sei un fisico. Hai trovato il modo di spiegare in maniera semplice e "tecnica" una cosa assolutamente inutile.
Piuttosto avresti dovuto calcolare l'integrale con la $\rho$!
non è affatto inutile :\
ti permette di perdere meno tempo coi calcoli ._.
ciampy antipatico ._.
edit:
dovevo andare in aeroporto. non avevo quei 10-15 minuti in più per fare calcoli e quei 30-40 a me stranecessari per controllarne la correttezza
proverò a farlo domani, ma non mi sembra complicato... poi boh... ^^
ti permette di perdere meno tempo coi calcoli ._.
ciampy antipatico ._.
edit:
dovevo andare in aeroporto. non avevo quei 10-15 minuti in più per fare calcoli e quei 30-40 a me stranecessari per controllarne la correttezza
proverò a farlo domani, ma non mi sembra complicato... poi boh... ^^
salve a tutti e grazie delle risposte. Ho rifatto l'integrale, perchè mi ero accorto di un errore di segno, $int_0^1 (\rho^3)*e^(-\rho^2) d\rho$ risolvendolo mediante sostituzione $(\rho^2) = u$ e successiva integrazione per parti viene la primitiva $(-e^(-\rho^2)/2)*(\rho^2 +1)$ e derivando ottengo la funzione integranda. Pertanto ritengo che sia corretto. Ora sostiuendo $1$ e $0$ otterrei $-1/e +1/2$, ma non ci siamo ancora in quanto otterrei $\pi*(e-2)/(2e)$.
salve a tutti e grazie delle risposte. Ho rifatto l'integrale, perchè mi ero accorto di un errore di segno, $int_0^1 (\rho^3)*e^(-\rho^2) d\rho$ risolvendolo mediante sostituzione $(\rho^2) = u$ e successiva integrazione per parti viene la primitiva $(-e^(-\rho^2)/2)*(\rho^2 +1)$ e derivando ottengo la funzione integranda. Pertanto ritengo che sia corretto. Ora sostiuendo $1$ e $0$ otterrei $-1/e +1/2$, ma non ci siamo ancora in quanto otterrei $\pi*(e-2)/(2e)$.
Mai sentito parlare di "minimo comune denominatore" tra due frazioni?
"ciampax":
Mai sentito parlare di "minimo comune denominatore" tra due frazioni?
criptico ciampy, a che fine questa ironia stavolta? o.O
vedo di fare questo integralozzo
anche io ottengo lo stesso risultato di ema: $\pi \frac{e-2}{2e}$ che NON è (nel senso che è proprio un altro numero) $\pi \frac{e-1}{4e}$
"Ziel van brand":
[quote="ciampax"]Mai sentito parlare di "minimo comune denominatore" tra due frazioni?
criptico ciampy, a che fine questa ironia stavolta? o.O
vedo di fare questo integralozzo
[/quote]Intendevo che bastava fare il denominatore comune. Comunque è questo il risultato corretto, con il 2 a denominatore (non il 4).
allora ema, c'è un errore sul testo/libro. il risultato corretto è l'ultimo che hai trovato
raggazzi, grazie a tutti, mi sembra strano che nel libro sia sbagliato. E' il Marcellini Sbordone esercitazioni di analisi 2, volume 2. Forse sbagliamo nel dominio, ma ho ricopiato il testo così come è, quindi è quello.
Sarebbe il 1° errore che trovo dopo almeno 300 esercizi svolti.
Sarebbe il 1° errore che trovo dopo almeno 300 esercizi svolti.
boh... "tutti sbagliano"?
io l'ho fatto 3 volte, ciampy conferma quel risultato. tu hai ottenuto lo stesso risultato (dopo la j-esima prova, ma vabbeh ^^ ).
quindi... è quello.
una circonferenza in polari è esattamente individuata come hai scritto tu stesso. su questo non ci sono dubbi.
io l'ho fatto 3 volte, ciampy conferma quel risultato. tu hai ottenuto lo stesso risultato (dopo la j-esima prova, ma vabbeh ^^ ).
quindi... è quello.
una circonferenza in polari è esattamente individuata come hai scritto tu stesso. su questo non ci sono dubbi.
Mah, che ti devo dire. L'ho rifatto in 3 modi diversi e mi viene sempre questo come risultato $\frac{\pi(e-2)}{2e}$. Il dominio è quello, non ci piove.
beh. allora grazie a tutti. Si sono convinto che stavolta c'è un errore nel libro. Come avete detto voi tutti sbagliano.
Grazie ancora, siete stati anche molto simpatici.
Grazie ancora, siete stati anche molto simpatici.
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