Integrale doppio con coordinate polari.
Mentre risolvevo gli esercizi delle prove del corso di analisi matematica II ho trovato un integrale che non riesco proprio a risolvere.
L'esercizio è il seguente:
Trovare l’espressione in coordinate polari della curva $ x^2 + y^2 -x=0$
e calcolare il seguente integrale doppio $\int int_E sqrt(1-(x^2 + y^2))dxdy$
dove l’insieme E è definito da $E={(x,y)in RR^2 : x^2 + y^2 -x<=0 }$.
Ho provato a risolverlo in due modi. Ma in entrambi i casi arrivavo ad un integrale che non riuscivo a calcolare..
Prima ho provato con le coordinate cartesiane centrate in $(1/2,0)$, cioè $\{(x-1/2=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ che mi semplificava molto l'insieme di definizione rendendolo quadrato ma rendendomi la risoluzione dell'integrale a mio avviso più difficile, quindi ho proseguito provando con $\{(x= rhocostheta), (y=rho sentheta):}$ , in modo da ottenere l'insieme $E_1$ $rho$-semplice:
$E_1={(rho,theta) in RR^2 : 0<=rho<=costheta , -pi/2<=theta<=pi/2}$. Dato che la funzione da integrare è pari allora ho utilizzanto $E_2={(rho,theta) in RR^2 : 0<=rho<=costheta , 0<=theta<=pi/2}$.
Ora riporto i calcoli:
$\int int_E sqrt(1-(x^2 + y^2))dxdy = 2int int_(E_2) rho sqrt(1-rho^2) drho d theta = 2int_0^(Pi/2)int_0^cos theta rho sqrt(1-rho^2) drho d theta =2int_0^(Pi/2) [-(2/3)(1-rho^2)^(3/2)]_0^costheta d theta=4/3int_0^(pi/2) 1 - (sen theta)^(5/2) d theta$
arrivato a questo punto non so come fare a calcolarlo... ho provato con l'integrazione per parti e con il cambio di variabili ma non mi esce...
Il testo inoltre mi dice che la soluzione dell'integrale è : $pi/3 - 4/9$
Spero che voi possiate chiarirmi le idee dato che domani ho l'esame:).
Grazie in anticipo.
L'esercizio è il seguente:
Trovare l’espressione in coordinate polari della curva $ x^2 + y^2 -x=0$
e calcolare il seguente integrale doppio $\int int_E sqrt(1-(x^2 + y^2))dxdy$
dove l’insieme E è definito da $E={(x,y)in RR^2 : x^2 + y^2 -x<=0 }$.
Ho provato a risolverlo in due modi. Ma in entrambi i casi arrivavo ad un integrale che non riuscivo a calcolare..
Prima ho provato con le coordinate cartesiane centrate in $(1/2,0)$, cioè $\{(x-1/2=rhocostheta),(y=rhosentheta):}$ che mi semplificava molto l'insieme di definizione rendendolo quadrato ma rendendomi la risoluzione dell'integrale a mio avviso più difficile, quindi ho proseguito provando con $\{(x= rhocostheta), (y=rho sentheta):}$ , in modo da ottenere l'insieme $E_1$ $rho$-semplice:
$E_1={(rho,theta) in RR^2 : 0<=rho<=costheta , -pi/2<=theta<=pi/2}$. Dato che la funzione da integrare è pari allora ho utilizzanto $E_2={(rho,theta) in RR^2 : 0<=rho<=costheta , 0<=theta<=pi/2}$.
Ora riporto i calcoli:
$\int int_E sqrt(1-(x^2 + y^2))dxdy = 2int int_(E_2) rho sqrt(1-rho^2) drho d theta = 2int_0^(Pi/2)int_0^cos theta rho sqrt(1-rho^2) drho d theta =2int_0^(Pi/2) [-(2/3)(1-rho^2)^(3/2)]_0^costheta d theta=4/3int_0^(pi/2) 1 - (sen theta)^(5/2) d theta$
arrivato a questo punto non so come fare a calcolarlo... ho provato con l'integrazione per parti e con il cambio di variabili ma non mi esce...
Il testo inoltre mi dice che la soluzione dell'integrale è : $pi/3 - 4/9$
Spero che voi possiate chiarirmi le idee dato che domani ho l'esame:).
Grazie in anticipo.
Risposte
Ti sei bloccato perchè hai fatto un errore di calcolo.
Innanzitutto nella 4° uguaglianza non è -2/3 ma -1/3; inoltre $(sen^2(x))^(3/2)$ non dà $(sen(x))^(5/2)$ ma $(sen(x))^(3)$ (potenza di potenza, quindi moltiplico gli esponenti tra loro), e dunque l'integrale si risolve facilmente.
Innanzitutto nella 4° uguaglianza non è -2/3 ma -1/3; inoltre $(sen^2(x))^(3/2)$ non dà $(sen(x))^(5/2)$ ma $(sen(x))^(3)$ (potenza di potenza, quindi moltiplico gli esponenti tra loro), e dunque l'integrale si risolve facilmente.
E' vero! che stupido... troppi esercizi danno alla testa! 
grazie mille!
grazie mille!
Di nulla, figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo