Integrale doppio con coordinate polari
Ciao a tutti, devo disegnare il dominio e risolvere questo integrale doppio:
$int int_D x dxdy$ dove $D={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<=4, x<=y}$
Allora per il dominio ho disegnato un cerchio con centro nell origine e raggio 2 e ho considerato i punti al suo interno e poi ho disegnato la retta y=x e ho considerato i punti al di sopra di questa retta.
Quindi il dominio D mi viene un semicerchio di raggio 2 che va da $\pi/4$ a $(5\pi)/4$
A questo punto faccio un cambio di coordinate e considero $x=r cos\theta$ e $y=r sin\theta$
Qundi direi che $\theta in [\pi/4, (5\pi)/4]$ e $r in [0,2]
e l'integrale diventa: $int_{\pi/4}^{(5\pi)/4} int_{0}^{2} r cos\theta r dr d\theta = int_{pi/4}^{(5\pi)/4}4sin\thetad\theta = 4[(-cos((5\pi)/4))-(-cos((\pi)/4))] = 4[ 1/sqrt(2) - (-1/sqrt(2))]=8/sqrt(2)=(2sqrt(2))/sqrt(2)=2
Sono giusti i miei procedimenti o sbaglio qualcosa?
Grazie per i consigli!
$int int_D x dxdy$ dove $D={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2<=4, x<=y}$
Allora per il dominio ho disegnato un cerchio con centro nell origine e raggio 2 e ho considerato i punti al suo interno e poi ho disegnato la retta y=x e ho considerato i punti al di sopra di questa retta.
Quindi il dominio D mi viene un semicerchio di raggio 2 che va da $\pi/4$ a $(5\pi)/4$
A questo punto faccio un cambio di coordinate e considero $x=r cos\theta$ e $y=r sin\theta$
Qundi direi che $\theta in [\pi/4, (5\pi)/4]$ e $r in [0,2]
e l'integrale diventa: $int_{\pi/4}^{(5\pi)/4} int_{0}^{2} r cos\theta r dr d\theta = int_{pi/4}^{(5\pi)/4}4sin\thetad\theta = 4[(-cos((5\pi)/4))-(-cos((\pi)/4))] = 4[ 1/sqrt(2) - (-1/sqrt(2))]=8/sqrt(2)=(2sqrt(2))/sqrt(2)=2
Sono giusti i miei procedimenti o sbaglio qualcosa?
Grazie per i consigli!
Risposte
l'impostazione del dominio è corretta ma secondo me c'è qualcosa di sbagliato nel calcolo dell'integrale
a me esce $8/3sqrt2$
a me esce $8/3sqrt2$
non capisco quale passaggio sbaglio nel calcolo dell'integrale...
o meglio, ho sbagliato sicuramente l'ultimo passaggio in cui scrivo che $8/sqrt(2)=(2sqrt(2))/sqrt(2)$ quindi il risultato che mi viene è $8/sqrt(2)$ che al massimo diventa $(8sqrt(2))/2$ e quindi $4sqrt(2)$, dove sbaglio?
Non capisco perchè a te viene $8/3sqrt(2)$
Non capisco perchè a te viene $8/3sqrt(2)$
quando integri la $r$ facendo $int_(0)^(2) r^2cos(theta)dr$ poi davanti alla parentesi quadra è sbagliato il 4
ma veramente in quel passaggio faccio questo:
quando cambio le variabili sostituisco il $dxdy$ con $r*drd\theta$
quindi quando integro la $r$ faccio $int_{0}^{2} r*cos(\theta)*r*dr=2*sin (\theta)*2=4*sin(\theta)$
il 4 quindi lo porto fuori dall'integrale successivo e rimane davanti alla parentesi quadra... è sbagliato?
quando cambio le variabili sostituisco il $dxdy$ con $r*drd\theta$
quindi quando integro la $r$ faccio $int_{0}^{2} r*cos(\theta)*r*dr=2*sin (\theta)*2=4*sin(\theta)$
il 4 quindi lo porto fuori dall'integrale successivo e rimane davanti alla parentesi quadra... è sbagliato?
chiedo scusa, ho capito l'errore che mi dici... integrando $r^2$ viene $1/3(r^3)$... che pirla
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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