Integrale doppio con coordinate polari
Salve,
sono sempre alle prese con questi benedetti integrali doppi, ma non riesco a cavare un ragno dal buco!
Allora ho il seguente integrale
Dunque visto il dominio e l'integranda ho effettuato un passaggio a coordinate polari:
$ { (x=rhocostheta ),(y=rhosintheta ):} $ con $ { (0<=theta<=pi/2 ),(rho>=0 ):} $ (tenendo conto che siamo nel I quadrante) e ovviamente lo Jacobiano della trasformazione $ rho$
Dunque adesso vado a sostituire nel dominio e viene
$ { (0<=rhocostheta<=rhosintheta),(rho^2<=1 ):} $ e quindi $ { ( rho<=1 ),( rho(costheta-sintheta)<=0 ),( rhocostheta>=0 ):} $
E poi da qua non so proprio come muovermi...cosa devo fare?
Ad esempio se nella terza espressione dividessi tutto per $ costheta $ (tanto è positivo, siamo nel I quadrante) otterrei $ rho>=0 $ e quindi avrei sistemato $rho$ che sarebbe $0<=rho<=1$. Una volta fatto questo, nella seconda espressione, posso IGNORARE quel $ rho $ messo in evidenza e risolvere la disequazione di seno e coseno? Più in generale, sistemato $ rho $ posso concentrarmi sull'angolo? ( E viceversa ovviamente)
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
sono sempre alle prese con questi benedetti integrali doppi, ma non riesco a cavare un ragno dal buco!
Allora ho il seguente integrale
Dunque visto il dominio e l'integranda ho effettuato un passaggio a coordinate polari:
$ { (x=rhocostheta ),(y=rhosintheta ):} $ con $ { (0<=theta<=pi/2 ),(rho>=0 ):} $ (tenendo conto che siamo nel I quadrante) e ovviamente lo Jacobiano della trasformazione $ rho$
Dunque adesso vado a sostituire nel dominio e viene
$ { (0<=rhocostheta<=rhosintheta),(rho^2<=1 ):} $ e quindi $ { ( rho<=1 ),( rho(costheta-sintheta)<=0 ),( rhocostheta>=0 ):} $
E poi da qua non so proprio come muovermi...cosa devo fare?
Ad esempio se nella terza espressione dividessi tutto per $ costheta $ (tanto è positivo, siamo nel I quadrante) otterrei $ rho>=0 $ e quindi avrei sistemato $rho$ che sarebbe $0<=rho<=1$. Una volta fatto questo, nella seconda espressione, posso IGNORARE quel $ rho $ messo in evidenza e risolvere la disequazione di seno e coseno? Più in generale, sistemato $ rho $ posso concentrarmi sull'angolo? ( E viceversa ovviamente)
Grazie a chiunque voglia darmi una mano
Risposte
A volte il disegno può aiutare... senza fare nessun conto è facile vedere che $pi/4<=theta<=pi/2$, si tratta infatti di $1/8$ del cerchio unitario.
Che applicazioni hanno gli integrali doppi rispetto i normali?
"walter89":
A volte il disegno può aiutare... senza fare nessun conto è facile vedere che $pi/4<=theta<=pi/2$, si tratta infatti di $1/8$ del cerchio unitario.
E se vavessi voluto ragionare così, sarebbe stato sbagliato?
"astrolabio95":
[quote="walter89"]A volte il disegno può aiutare... senza fare nessun conto è facile vedere che $pi/4<=theta<=pi/2$, si tratta infatti di $1/8$ del cerchio unitario.
E se vavessi voluto ragionare così, sarebbe stato sbagliato?[/quote]
Premesso che walter89 ha perfettamente ragione e che questo integrale lo definisci "a mente" senza fare alcun ragionamento scritto....data la semplicità....
Io ti consiglio vivamente di imparare il metodo analitico che stavi approcciando, perché serve per prendere dimestichezza con il metodo che ti può aiutare a risolvere casi ben più complessi quando il ragionamento grafico è estremamente difficile e molte volte, non praticabile
Ovviamente devi arrivare al medesimo risultato:
se analizzi bene le condizioni del dominio arrivi facilemente al seguente sistema
${{: ( sentheta>costheta ),( sentheta>0 ),( costheta>0) :}$
che fornisce lo stesso risultato atteso.....
"Paolovox":
Che applicazioni hanno gli integrali doppi rispetto i normali?
quando hai fatto calcolo delle probabilità non hai fatto i vettori aleatori??
"tommik":
[quote="astrolabio95"][quote="walter89"]A volte il disegno può aiutare... senza fare nessun conto è facile vedere che $pi/4<=theta<=pi/2$, si tratta infatti di $1/8$ del cerchio unitario.
E se vavessi voluto ragionare così, sarebbe stato sbagliato?[/quote]
Premesso che walter89 ha perfettamente ragione e che questo integrale lo definisci "a mente" senza fare alcun ragionamento scritto....data la semplicità....
Io ti consiglio vivamente di imparare il metodo analitico che stavi approcciando, perché serve per prendere dimestichezza con il metodo che ti può aiutare a risolvere casi ben più complessi quando il ragionamento grafico è estremamente difficile e molte volte, non praticabile
Ovviamente devi arrivare al medesimo risultato:
se analizzi bene le condizioni del dominio arrivi facilemente al seguente sistema
${{: ( sentheta>costheta ),( sentheta>0 ),( costheta>0) :}$
che fornisce lo stesso risultato atteso.....
[/quote]Quindi quello che io ho impostato è sbagliato? Io non riesco a capire quando lavorare su $ rho $ e quando sull'angolo...
hai fatto tutto per bene! devi solo trarre le giuste conclusioni...ora vediamo
lasciando perdere $rho$ che ovviamente è sempre $>0$
TU HAI GIUSTAMENTE SCRITTO CHE:
${{: ( costheta-sentheta<0 ),( costheta>0 ) :}$
ora, osserva bene la prima disuguaglianza.....se $sentheta<0$ è chiaro che non ha senso....quindi $sentheta>0$ da cui il sistema che ti ho impostato prima
ora dovrebbe essere chiaro
TU HAI GIUSTAMENTE SCRITTO CHE:
${{: ( costheta-sentheta<0 ),( costheta>0 ) :}$
ora, osserva bene la prima disuguaglianza.....se $sentheta<0$ è chiaro che non ha senso....quindi $sentheta>0$ da cui il sistema che ti ho impostato prima
ora dovrebbe essere chiaro
In questi esempi semplici mi è facile capire... il problema si pone quando ci sono tante condizioni da gestire..posso postare un esempio qui o devo aprire un altro topic?
"astrolabio95":
In questi esempi semplici mi è facile capire... il problema si pone quando ci sono tante condizioni da gestire..posso postare un esempio qui o devo aprire un altro topic?
se metti un altro topic io preferisco.....ma non è obbligatorio
Posterò un altro topic, almeno gioverà agli altri utenti!
"astrolabio95":
Posterò un altro topic, almeno gioverà agli altri utenti!
ci guardo..ammesso che riesca a farlo.....perché faccio altro nella vita...non sono un prof
"tommik":
[quote="astrolabio95"]Posterò un altro topic, almeno gioverà agli altri utenti!
ci guardo..ammesso che riesca a farlo.....perché faccio altro nella vita...non sono un prof[/quote]
Ti ringrazio tanto, mi stai aiutando moltissimo!
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