Integrale doppio con coordinate polari
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio sugli integrali doppi, prima l'ho fatto senza cambiamento di variabili (e il risultato viene giusto), però cambiando le variabili in coordinate polari non esce la stessa cosa, quindi ho il dubbio di aver sbagliato l'impostazione.
L'integrale doppio è questo:
$\int_Dxydxdy$, dove D è il semicerchio di centro (1,0), raggio 1 ed y>0
Ho trovato che l'equazione del cerchio è $y=sqrt(2x-x^2)$, quindi, senza cambiamento di variabili, il dominio D è uguale a ${(x,y)inRR^2 : 0<=y<=sqrt(2x-x^2); 0<=x<=2}$, e il risultato finale dell'integrale doppio è $2/3$.
Ora, per quanto riguarda il cambiamento di variabili in coordinate polari, dobbiamo porre $x=\rhocos\theta$, $y=\rhosin\theta$, dove il modulo $\rho$ identifica il raggio della nostra circonferenza, mentre $\theta$ l'intervallo degli angoli in cui è definito il dominio della circonferenza, quindi il nuovo dominio D' l'ho dichiarato così:
$D'={(\rho,\theta)inRR^2 : 0<=\rho<=1 ; 0<=\theta<=\pi}$
Ne consegue che l'integrale doppio da risolvere sarà:
$\int_0^1(\int_0^\pi \rho^3 cos\theta sin\theta d\theta)d\rho$
E' giusto impostato così?
L'integrale doppio è questo:
$\int_Dxydxdy$, dove D è il semicerchio di centro (1,0), raggio 1 ed y>0
Ho trovato che l'equazione del cerchio è $y=sqrt(2x-x^2)$, quindi, senza cambiamento di variabili, il dominio D è uguale a ${(x,y)inRR^2 : 0<=y<=sqrt(2x-x^2); 0<=x<=2}$, e il risultato finale dell'integrale doppio è $2/3$.
Ora, per quanto riguarda il cambiamento di variabili in coordinate polari, dobbiamo porre $x=\rhocos\theta$, $y=\rhosin\theta$, dove il modulo $\rho$ identifica il raggio della nostra circonferenza, mentre $\theta$ l'intervallo degli angoli in cui è definito il dominio della circonferenza, quindi il nuovo dominio D' l'ho dichiarato così:
$D'={(\rho,\theta)inRR^2 : 0<=\rho<=1 ; 0<=\theta<=\pi}$
Ne consegue che l'integrale doppio da risolvere sarà:
$\int_0^1(\int_0^\pi \rho^3 cos\theta sin\theta d\theta)d\rho$
E' giusto impostato così?
Risposte
Per un assegnato valore di \(\displaystyle \theta \) ( ovvero per un'assegnata posizione del generico punto della semicirconferenza) il dominio di variazione è definito come :
\(\displaystyle 0\leq \theta\leq \frac{\theta}{2},0\leq \rho\leq 2\cos\theta \)
Adesso fai i calcoli e vedrai che trovi il medesimo risultato 2/3
\(\displaystyle 0\leq \theta\leq \frac{\theta}{2},0\leq \rho\leq 2\cos\theta \)
Adesso fai i calcoli e vedrai che trovi il medesimo risultato 2/3
Non capisco però, $0<=\rho<=2cos\theta$ sarebbe come dire che $0<=x<=2$? E invece $\theta$ da cosa si ricava?
@Laura.
Per trasformare il semicerchio che costituisce il tuo dominio nel rettangolo $[0,1] times [0,pi]$(nelle nuove variabili..),
occorre porre $x=rho cos theta +1,y=rho sen theta$:
più in generale,per trasformare in coordinate polari il semicerchio di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$ sopra la retta d'equazione $y=y_0$,
basta osservare che esso è in corrispondenza con il rettangolo $[0,r] times [0,pi]$ tramite le equazioni parametriche $x=x_0+rho cos theta,y=y_0+rho sen theta$ e che,inoltre,
lo jacobiano di tale trasformazione vale $rho$..
Saluti dal web.
Edit
@Tem.
Ancora la mia amata contemporaneità non s'era presentata,con te..
Per trasformare il semicerchio che costituisce il tuo dominio nel rettangolo $[0,1] times [0,pi]$(nelle nuove variabili..),
occorre porre $x=rho cos theta +1,y=rho sen theta$:
più in generale,per trasformare in coordinate polari il semicerchio di centro $(x_0,y_0)$ e raggio $r$ sopra la retta d'equazione $y=y_0$,
basta osservare che esso è in corrispondenza con il rettangolo $[0,r] times [0,pi]$ tramite le equazioni parametriche $x=x_0+rho cos theta,y=y_0+rho sen theta$ e che,inoltre,
lo jacobiano di tale trasformazione vale $rho$..
Saluti dal web.
Edit
@Tem.
Ancora la mia amata contemporaneità non s'era presentata,con te..
In alternativa. Prendi un punto P sulla semicirconferenza ed uniscilo con gli estremi O ed A del diametro. Otterrai un triangolo rettangolo da cui si ricava che: \(\displaystyle OP=2\cos\theta \). Allora per ogni posizione intermedia sull'arco OP segue che : \(\displaystyle 0\leq \rho\leq OP=2\cos\theta \)
Ah ok ora ho capito! La cosa che ignoravo completamente era il fatto che la circonferenza non è centrata nel punto (0,0), e non avevo capito che quindi x e y variano di conseguenza. Grazie mille a tutti per l'aiuto!
scusate "l'intromissione", sto facendo lo stesso esercizio: ma perché il sistema di disequazioni di cui parlava TeM dà come risultato per l'angolo l'intervallo $0<=\theta<=\pi/2$ ? A me viene $0<=\theta<=\pi$ !
Capito, adesso infatti viene come dovrebbe. Il fatto di risolvere quel sistema di disequazioni è un metodo che si può applicare a qualsiasi integrale doppio in cui ho gli intervalli in coordinate cartesiane e li voglio trovare in coordinate polari? E, più in generale, è il metodo per trovare i nuovi intervalli di integrazione quando faccio un qualsiasi cambio variabile? (cioè, con un qualsiasi cambio variabile dovrò mettere, come terza e quarta disequazione, l'esistenza delle due nuove variabili?)
Capito. Grazie mille!
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