Integrale doppio con coordinate ellittiche

[Spux91]

$\int int_D(x^2-y)/(13x^2-8xy+4y^2)dxdy$

nel dominio

$\D-={(13x^2-8xy+4y^2<=4),(y>=x):}$

Avevo pensato di utilizzare le coordinate ellittiche considerando che \(\displaystyle a=\frac{2}{3} \), \(\displaystyle b=2 \) e quindi lo jacobiano \(\displaystyle J=\frac{4\rho}{3} \), tuttavia andando a sostituire nell'integrale i calcoli sembrano un po' laboriosi quindi vorrei sapere se conviene seguire questo metodo o c'è una via più veloce. Grazie in anticipo.

[ciampax]

Mmmm... io scriverei la conica così

$9x^2+4(x-y)^2\le 4$ e quindi $(x-y)^2+9/4 x^2\le 1$

Porrei $x=2/3\rho\cos t,\ x-y=\rho\sin t$ e quindi $y=2/3\rho \cos t-\rho\sin t$. Ovviamente $0\le\rho\le 1$, mentre per $t$ basta risolvere la disequazione

$2/3\rho \cos t-\rho\sin t\ge 2/3\rho\cos t$ da cui $\sin t\le 0$ e pertanto $-\pi\le t\le 0$. Infine per lo jacobiano

[tex]$J=\left|\begin{array}{cc}
2/3\cos t &\quad 2/3\cos t-\sin t\\ & \\ -2/3\rho\sin t &\quad -2/3\rho\sin t-\rho\cos t
\end{array}\right|=-4/9 \rho$[/tex]

L'integrale diventa allora

$\int_{-\pi}^0\int_0^1\frac{4/9\rho^2\cos^2 t-2/3\rho\cos t+\rho\sin t}{\rho^2}\ (-4/9 \rho)\ d\rho\ dt=-4/9 \int_{-\pi}^0\int_0^1(4/9\rho\cos^2 t-2/3\cos t+\sin t)\ d\rho\ dt$

[Spux91]

Grazie ciampax seguirò questa strada, sembra semplificare di molto le cose.